Question

【题目】如图，已知中，，是边的中点，是边上一动点，与相交于点．

（1）如果，，且为的中点，求线段的长；

（2）联结，如果，且，，求的值；

（3）联结，如果，且，，求线段的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

（1）根据已知条件得到CP=4，求得BP=2，根据三角形重心的性质即可得到结论；
（2）如图1，过点B作BF∥CA交CD的延长线于点F，根据平行线分线段成比例定理得到，求得，设CP=k，则PA=3k，得到PA=PB=3k根据三角函数的定义即可得到结论；
（3）根据直角三角形的性质得到CD=BD=AB，推出△PBD∽△ABP，根据相似三角形的性质得到∠BPD=∠A，推出△DPE∽△DCP，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解：（1）∵为的中点，，

∴

∵，，

∴

∵是边的中点，为的中点，

∴点是的重心

∴

（2）过点作交的延长线于点

∴

∵，∴，

∵，，则，∴

∴

∴，

∴，

设，则

∵，是边的中点，∴

∴，∴，∵

∴

（3）∵，是边的中点

∴

∵

∴

∵，∴

∴

∵，∴，∵，

，∴

∵，，∴