Question

对于点M（m，n），若有点N（m+

n

k

，km+n），则称N为点M的“k倍伴侣点”．例如，M（1，2）的“1倍伴侣点”的坐标为（1+

2

1

，1×1+2），即（3，3）．
（1）点M（3，-2）的“2倍伴侣点“的坐标为（

 

，

 

）；
（2）若点M是y轴上的点，N为点M的”k倍伴侣点“，O为坐标原点，且△MNO为等腰直角三角形，则k=

 

；
（3）如果N为点M的”k倍伴侣点“，且点N在反比例函数y=

k

x

图象上运动．请探究点M在什么函数图象上运动，写出必要的过程．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：新定义

分析：（1）只需把m=3，n=-2，k=2代入（m+

n

k

，km+n），即可解决问题；
（2）设点M（m，n），由条件可得M（0，n），N（

n

k

，n），从而得到MN⊥y轴（即∠OMN=90°），由“△MNO为等腰直角三角形”可得OM=MN，从而得到|n|=|

n

k

|，就可求出k的值；
（3）设点M（m，n），则点N的坐标为（m+

n

k

，km+n），由“点N在反比例函数y=

k

x

图象上”可得（m+

n

k

）（km+n）=k，从而得到n=-km+k或n=-km-k，即可得到点M在一次函数y=-kx+k或y=-kx-k上运动．

解答：解：（1）点M（3，-2）的“2倍伴侣点“的坐标为（3+

-2

2

，2×3-2），
即（2，4）．
故答案为：2、4．

（2）设点M（m，n），
∵点M是y轴上的点，∴m=0，
∴点M的坐标为（0，n）．
∵N为点M的“k倍伴侣点”，
∴点N的坐标为（

n

k

，n），
∴MN⊥y轴，即∠OMN=90°．
∵△MNO为等腰直角三角形，
∴OM=MN，
∴|n|=|

n

k

|，
∴k=±1．
故答案为：±1．

（3）设点M（m，n），
∵N为点M的“k倍伴侣点”，
∴点N的坐标为（m+

n

k

，km+n）．
∵点N在反比例函数y=

k

x

图象上运动，
∴（m+

n

k

）（km+n）=k，
即（km+n）²=k²，
∴km+n=k或km+n=-k，
即n=-km+k或n=-km-k，
∴点M在一次函数y=-kx+k或y=-kx-k上运动．

点评：本题属于新定义型，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是对新定义的理解．