Question

在四边形ABCD中，BC⊥CD，AB=5，BC=4，CD=3，AD=5

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，建立适当的直角坐标系，求出顶点A，B，C，D的坐标．

Answer 1

考点：坐标与图形性质

专题：数形结合

分析：以C为坐标原点，CB、CD所在直线为坐标轴建立如图所示的直角坐标系，如图，易得C（0，0），B（4，0），D（0，3），连结BD，作AE⊥x轴，在Rt△CDB中利用勾股定理计算出BD=5，再根据勾股定理的逆定理得到△ABD为直角三角形，∠ABD=90°，然后证明△CBD≌△EBA，得到BE=CD=3，AE=CB=4，则CE=CB+BE=7，所以A点坐标为（7，4）．

解答：解：以C为坐标原点，CB、CD所在直线为坐标轴建立如图所示的直角坐标系，如图，则C（0，0），B（4，0），D（0，3），
连结BD，作AE⊥x轴，
在Rt△CDB中，∵CD=3，BC=4，
∴BD=

CD2+BC2

=5，
∵AB=5，AD=5

2

，
∴BD²+AB²=AD²，
∴△ABD为直角三角形，∠ABD=90°，
∴∠ABE+∠DBC=90°，
而∠CDB+∠DBC=90°，
∴∠CDB=∠ABE，
在△CBD和△EBA中，

∠BCD=∠AEB ∠BDC=∠ABE BD=AB

，
∴△CBD≌△EBA（AAS），
∴BE=CD=3，AE=CB=4，
∴CE=CB+BE=7，
∴A点坐标为（7，4）．
∴顶点A，B，C，D的坐标分别为（7，4），B（4，0），C（0，0），D（0，3）．

点评：本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应的线段长和判断线段与坐标轴的关系．也考查了勾股定理和勾股定理的逆定理以及全等三角形的判定与性质．