Question

2．如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，-1），图象与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；
（3）点E为直线BC上的任意一点，过点E作x轴的垂线与抛物线交于点F，问是否存在点E使△DEF为直角三角形？若存在，求出点E坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）可设抛物线解析式为顶点式，把C点坐标代入可求得抛物线解析式；
（2）由抛物线解析式可求得A、B坐标，利用待定系数法可求得直线BC解析式，利用对称轴可求得D点坐标，则可求得AD²、AC²和CD²，利用勾股定理的逆定理可判定△ACD为直角三角形，则可求得其面积；
（3）根据题意可分∠DFE=90°和∠EDF=90°两种情况，当∠DFE=90°时，可知DF∥x轴，则可求得E点纵坐标，代入抛物线解析式可求得E点坐标；当∠EDF=90°时，可求得直线AD解析式，联立直线AC和抛物线解析式可求得点E的横坐标，代入直线BC可求得点E的坐标．

解答 解：
（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，-1），
∴可设抛物线解析式为y=a（x-2）²-1（a≠0），
把C（0，3）代入可得a（0-2）²-1=3，解得a=1，
∴抛物线解析式为y=（x-2）²-1=x²-4x+3；
（2）在y=x²-4x+3中，令y=0可得x²-4x+3=0，解得x=1或x=3，
∴A（1，0），B（3，0），
设直线BC解析式为y=kx+3，把B（3，0）代入得：3k+3=0，解得k=-1，
∴直线BC解析式为y=-x+3，
由（1）可知抛物线的对称轴为x=2，此时y=-2+3=1，
∴D（2，1），
∴AD²=2，AC²=10，CD²=8，
∵AD²+CD²=AC²，
∴△ACD是以AC为斜边的直角三角形，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$AD•CD=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$=2；
（3）由题意知EF∥y轴，则∠FED=∠OCB≠90°，
∴△DEF为直角三角形，分∠DFE=90°和∠EDF=90°两种情况，
①当∠DFE=90°时，即DF∥x轴，则D、F的纵坐标相同，
∴F点纵坐标为1，
∵点F在抛物线上，
∴x²-4x+3=1，解得x=2±$\sqrt{2}$，即点E的横坐标为2±$\sqrt{2}$，
∵点E在直线BC上，
∴当x=2+$\sqrt{2}$时，y=-x+3=1-$\sqrt{2}$，当x=2-$\sqrt{2}$时，y=-x+3=1+$\sqrt{2}$，
∴E点坐标为（2+$\sqrt{2}$，1-$\sqrt{2}$）或（2-$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$）；
②当∠EDF=90°时，
∵A（1，0），D（2，1），
∴直线AD解析式为y=x-1，
∵直线BC解析式为y=-x+3，
∴AD⊥BC，
∴直线AD与抛物线的交点即为E点，
联立直线AD与抛物线解析式有x²-4x+3=x-1，解得x=1或x=4，
当x=1时，y=-x+3=2，当x=4时，y=-x+3=-1，
∴E点坐标为（1，2）或（4，-1），
综上可知存在满足条件的点E，其坐标为（2+$\sqrt{2}$，1-$\sqrt{2}$）或（2-$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$）或（1，2）或（4，-1）．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的顶点式、直角三角形的判定及性质、方程思想及分类讨论思想等知识点．在（1）中注意抛物线三种形式的解析式的灵活运用，在（2）中求得AD、AC、CD的长是解题的关键，在（3）中确定出点E的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．