Question

17．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）求证：△PCF是等腰三角形；
（3）若AF=6，EF=2$\sqrt{5}$，求⊙O 的半径长．

Answer 1

分析 （1）根据切线的性质得OC⊥AD，而AD⊥DP，则肯定判断OC∥AD，根据平行线的性质得∠DAC=∠OCA，加上∠OAC=∠OCA，所以∠OAC=∠DAC；
（2）根据圆周角定理由AB为⊙O的直径得∠ACB=90°，则∠BCE=45°，再利用圆周角定理得∠BOE=2∠BCE=90°，则∠OFE+∠OEF=90°，易得∠CFP+∠OEF=90°，再根据切线的性质得到∠OCF+∠PCF=90°，而∠OCF=∠OEF，根据等角的余角相等得到∠PCF=∠CFP，于是可判断△PCF是等腰三角形；
（3）连结OE．由AB为⊙O的直径，得到∠ACB=90°，根据角平分线的定义得到∠BCE=45°，设⊙O 的半径为r，则OF=6-r，根据勾股定理列方程即可得到结论．

解答 （1）证明：∵PD为⊙O的切线，
∴OC⊥DP，
∵AD⊥DP，
∴OC∥AD，
∴∠DAC=∠OCA，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OAC=∠DAC，
∴AC平分∠DAB；

（2）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE=45°，
∴∠BOE=2∠BCE=90°，
∴∠OFE+∠OEF=90°，
而∠OFE=∠CFP，
∴∠CFP+∠OEF=90°，
∵OC⊥PD，
∴∠OCP=90°，即∠OCF+∠PCF=90°，
而∠OCF=∠OEF，
∴∠PCF=∠CFP，
∴△PCF是等腰三角形；

（3）解：连结OE．
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=45°，
∴∠BOE=90°，即OE⊥AB，
设⊙O 的半径为r，则OF=6-r，
在Rt△EOF中，∵OE²+OF²=EF²，
∴r²+（6-r）²=（2$\sqrt{5}$）²，
解得，r₁=4，r₂=2，
当r₁=4时，OF=6-r=2（符合题意），
当r₂=2时，OF=6-r=4（不合题意，舍去），
∴⊙O的半径r=4．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和等腰三角形的判定．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．