Question

已知直线y=2x-5与x轴和y轴分别交于点A和点B，抛物线y=-x²+bx+c的顶点M在直线AB上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N．
（1）如图，当点M与点A重合时，求：
①抛物线的解析式；
②点N的坐标和线段MN的长；
（2）抛物线y=-x²+bx+c在直线AB上平移，是否存在点M，使得△OMN与△AOB相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）①∵直线y=2x-5与x轴和y轴交于点A和点B，
∴，B（0，-5）．
解法一：当顶点M与点A重合时，∴．
∴抛物线的解析式是：．即．
解法二：当顶点M与点A重合时，∴．
∵，∴b=5．
又∵，∴．
∴抛物线的解析式是：．
②∵N在直线y=2x-5上，设N（a，2a-5），又N在抛物线上，
∴．
解得 ，（舍去）
∴．
过N作NC⊥x轴，垂足为C．
∵，∴．
∴NC=4． ．
∴；


（2）∵，B（0，-5）．
∴OA=，OB=5，直线AB的解析式是：y=2x-5，
则OB=2OA，AB==，
当OM⊥AB时，直线OM的解析式是：y=-x，
解方程组：，
解得：，
则M的坐标是（2，-1）；
当ON⊥AB时，N的坐标是（2，-1），设M的坐标是（m，2m-5）则m＞2，
∵ON=，
∴OM²=ON²+MN²，
即m²+（2m-5）²=5+（2）²，
解得：m=4，
则M的坐标是M（4，3）．
故M的坐标是：（2，-1）或（4，3）．
分析：（1）①首先求得直线与x轴，y轴的交点坐标，利用二次函数的对称轴的公式即可求解；
②N在直线上同时在二次函数上，因而设N的横坐标是a，则在两个函数上对应的点的纵坐标相同，据此即可求得a的值，即N的坐标，过N作NC⊥x轴，垂足为C，利用勾股定理即可求得MN的长；
（2）△AOB的三边长可以求得OB=2OA，AB边上的高可以求得是，抛物线y=-x²+bx+c在直线AB上平移，则MN的长度不变，根据（1）的结果是2，MN是AB边上的高的二倍，当OM⊥AB或ON⊥AB时，两个三角形相似，据此即可求得M的坐标．
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式，注意到MN是AB边上的高的二倍，当OM⊥AB或ON⊥AB时，两个三角形相似是解题的关键．