Question

如图，抛物线y=ax²+bx-4与x轴交于A（-4，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的函数关系式；
（2）点P是抛物上第三象限内的一动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABCP的面积最大？求出此时点P的坐标和四边形ABCP的面积；
（3）点M在抛物线对称轴上，点N是平面内一点，是否存在这样的点M、N，使得以点M、N、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）将A（-4，0）、B（3，0）两点的坐标代入y=ax²+bx-4，运用待定系数法即可求出抛物线的函数关系式；
（2）设点P的坐标为（m，

1

3

m²+

1

3

m-4），则-4＜m＜0．根据S_{四边形ABCP}=S_△AOP+S_△COP+S_△BOC，得出S_{四边形ABCP}=-

2

3

（m+2）²+

50

3

，由二次函数的性质即可求解；
（3）在直角△BOC中，由勾股定理求出BC=5．设M点的坐标为（-

1

2

，y），如果以点M、N、B、C为顶点的四边形是菱形时，分两种情况讨论：（i）以BC为边长时，又分两种情况，如果四边形CBMN是菱形，那么由BM=BC，列出关于y的方程，解方程即可；如果四边形BCMN是菱形，那么由CM=BC，列出关于y的方程，解方程即可；（ii）以BC为对角线时，四边形MCNB是菱形，则由BM=CM，列出关于y的方程，解方程即可．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx-4与x轴交于A（-4，0）、B（3，0）两点，
∴

16a-4b-4=0 9a+3b-4=0

，解得

a= 1 3 b= 1 3

，
∴抛物线的解析式为y=

1

3

x²+

1

3

x-4；

（2）如图，设点P的坐标为（m，

1

3

m²+

1

3

m-4），则-4＜m＜0，

1

3

m²+

1

3

m-4＜0．连接OP．
∵S_{四边形ABCP}=S_△AOP+S_△COP+S_△BOC
=

1

2

×4（-

1

3

m²-

1

3

m+4）+

1

2

×4（-m）+

1

2

×4×3
=-

2

3

m²-

8

3

m+14
=-

2

3

（m+2）²+

50

3

，
∴当m=-2时，四边形ABCP的面积最大，最大值为

50

3

，此时点P的坐标为（-2，-

10

3

）；

（3）存在这样的点M、N，能够使得以点M、N、B、C为顶点的四边形是菱形．理由如下：
∵OB=3，OC=4，∠BOC=90°，
∴BC=

32+42

=5．
设M点的坐标为（-

1

2

，y），分两种情况讨论：
（i）以BC为边长时，
如果四边形CBMN是菱形，那么BM=BC，
即（3+

1

2

）²+y²=25，解得y=±

51

2

，
即存在M（-

1

2

，

51

2

）或（-

1

2

，-

51

2

），能够使以点M、N、B、C为顶点的四边形是菱形；
如果四边形BCMN是菱形，那么CM=BC，
即（0+

1

2

）²+（y+4）²=25，
整理，得4y²+32y-35=0，解得y=-4±

3 11

2

，
即存在M（-

1

2

，-4+

3 11

2

）或（-

1

2

，-4-

3 11

2

），能够使以点M、N、B、C为顶点的四边形是菱形；
（ii）以BC为对角线时，四边形MCNB是菱形，则BM=CM，
即（3+

1

2

）²+y²=（0+

1

2

）²+（y+4）²，解得y=-

1

2

，
即存在M（-

1

2

，-

1

2

），能够使以点M、N、B、C为顶点的四边形是菱形；
综上可知，存在这样的点M、N，使得以点M、N、B、C为顶点的四边形是菱形，此时点M的坐标为：M₁（-

1

2

，

51

2

），M₂（-

1

2

，-4+

3 11

2

），M₃（-

1

2

，-

51

2

），M₄（-

1

2

，-4-

3 11

2

），
M₅（-

1

2

，-

1

2

）．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求抛物线的解析式，四边形的面积求法，二次函数的性质，勾股定理，菱形的判定与性质，综合性较强，有一定难度．其中（3）需要注意分析题意分情况进行讨论，否则容易漏解．