Question

16．如图，A是以EF为直径的半圆上的一点，作AG⊥EF交EF于G，又B为AG上一点，EB的延长线交半圆于点K，若EB=2，EK=6，则AE=2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 连接AF、KF，由圆周角定理推论可得∠EAF=∠EKF=90°，根据AG⊥EF可证△BEG∽△FEK得$\frac{BE}{EF}$=$\frac{EG}{EK}$，即BE•EK=EF•EG，再证△AEG∽△FEA得$\frac{AE}{FE}$=$\frac{EG}{EA}$，从而知AE²=FE•EG=12，即可得答案．

解答 解：如图，连接AF、KF，

∵EF是直径，
∴∠EAF=∠EKF=90°
又AG⊥EF交EF于G，
∴∠BGE=∠EKF=90°，
∴△BEG∽△FEK，
则$\frac{BE}{EF}$=$\frac{EG}{EK}$，
∴BE•EK=EF•EG；
又AG⊥EF交EF于G，∠EAF=90°
∴△AEG∽△FEA，
则$\frac{AE}{FE}$=$\frac{EG}{EA}$
即AE²=FE•EG
∴AE²=EB•EK=2×6=12，
则AE=2$\sqrt{3}$，
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理以证得三角形相似是解题的关键．