Question

4．如图，在圆O中，弦AB⊥CD于E，弦AG⊥BC于F，CD与AG相交于点M．
（1）求证：$\widehat{BD}$=$\widehat{BG}$．
（2）如果AB=12，CM=4，求圆O的半径．

Answer 1

分析 （1）连结AD、BD、BG，由AB⊥CD，AG⊥BC得到∠CEB=∠AFB=90°，根据等角的余角相等得到∠ECB=∠BAF，即可得出结论；
（2）连接OA、OB、OC、OG、CG，作OH⊥CG于H，OK⊥AB于K，由垂径定理得出CH=GH=$\frac{1}{2}$CG，AK=BK=$\frac{1}{2}$AB=6，由圆周角定理和角的互余关系证出∠CNF=∠AGC，得出CG=CM=4，因此GH=2，由AG⊥BC证出$\widehat{BG}$的度数+$\widehat{AC}$的度数=180°，得出∠COG+∠AOB=180°，因此∠HOG+∠BOK=90°，证出∠HGO=∠BOK，由AAS证明△HOG≌△KBO，得出对应边相等OK=HG=2，再由勾股定理求出OB即可．

解答 （1）证明：连结AD、BD、BG，如图1所示，
∵AB⊥CD，AG⊥BC，
∴∠CEB=∠AFB=90°，
∴∠ECB+∠B=90°，∠BAF+∠B=90°，
∴∠ECB=∠BAF，即∠DCB=∠BAG，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{BG}$；
（2）解：连接OA、OB、OC、OG、CG，作OH⊥CG于H，OK⊥AB于K，如图2所示：
则CH=GH=$\frac{1}{2}$CG，AK=BK=$\frac{1}{2}$AB=6，
∵∠DCB=∠BAG，∠DCB+∠CMF=90°，∠BAG+∠ABF=90°，
∴∠CMF=∠ABF，
∵∠ABF=∠AGC，
∴∠CMF=∠AGC，
∴CG=CM=4，
∴GH=2，
∵AG⊥BC，
∴∠AFB=90°，
∴∠FAB+∠FBA=90°，
∴$\widehat{BG}$的度数+$\widehat{AC}$的度数=180°，
∴∠COG+∠AOB=180°，
∴∠HOG+∠BOK=90°，
∵∠HGO+∠HOG=90°，
∴∠HGO=∠BOK，
在△HOG和△KBO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OHG=∠BKO=90°}\\{∠HGO=∠BOK}\\{OG=OB}\end{array}\right.$，
∴△HOG≌△KBO（AAS），
∴OK=HG=2，
∴OB=$\sqrt{O{K}^{2}+B{K}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{10}$；
即⊙O的半径为2$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（2）中，需要作多条辅助线证明三角形全等和运用勾股定理才能得出结果．