Question

8．如图，在?ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD于点E，已知半径AB=2，则图中阴影部分面积为（2-$\frac{π}{2}$）cm²．

Answer 1

分析 连接AC，过点C作CE⊥AD于点E，根据切线的性质可知AC⊥CD，再由四边形ABCD是平行四边形可知AB=CD=AC，故△ACD是等腰直角三角形，根据勾股定理求出AD的长，由等腰三角形的性质得出AE的长，故可得出CE的长，再由S_阴影=S_{平行四边形ABCD}-S_△ABC-S_扇形CAF即可得出结论．

解答 解：连接AC，过点C作CE⊥AD于点E，
∵CD是⊙O的切线，
∴AC⊥CD．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=AC，
∴△ACD是等腰直角三角形．
∵AB=2，
∴AD=$\sqrt{{AC}^{2}+{CD}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD=$\sqrt{2}$，
∴CE=AE=$\sqrt{2}$．
∴S_阴影=S_{平行四边形ABCD}-S_△ABC-S_扇形CAF
=2$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$-$\frac{45π×{2}^{2}}{360}$
=（2-$\frac{π}{2}$）cm²．
故答案为：（2-$\frac{π}{2}$）cm²．

点评 本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．