Question

2．如图，点B、C、D都在半径为12的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB=∠OBD=30°．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）求弦BD的长；
（3）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）首先证明四边形ABDC为平行四边形，推出∠A=∠D=30°，∵∠AOC=2∠D=60°，由此可以证明∠ACO=90°即可．
（2）在直角△BEO中，∠OBD=30°，OB=12，推出OE=$\frac{1}{2}$OB=6，BE=$\sqrt{1{2}^{2}-{6}^{2}}$=6$\sqrt{3}$，根据BD=2BE=12$\sqrt{3}$，即可即可解决问题．
（3）易证△OEB≌△CED，推出S_阴影=S_扇形BOC，由此即可计算．

解答 （1）证明：连接OC，OC交BD于E，
∵∠CDB=30°，
∴∠COB=2∠CDB=60°，
∵∠CDB=∠OBD，
∴CD∥AB，
又∵AC∥BD，
∴四边形ABDC为平行四边形，
∴∠A=∠D=30°，
∴∠OCA=180°-∠A-∠COB=90°，即OC⊥AC
又∵OC是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线；　　　

（2）解：由（1）知，OC⊥AC．
∵AC∥BD，
∴OC⊥BD，
∴BE=DE，
∵在直角△BEO中，∠OBD=30°，OB=12，
∴OE=$\frac{1}{2}$OB=6，BE=$\sqrt{1{2}^{2}-{6}^{2}}$=6$\sqrt{3}$，
∴BD=2BE=12$\sqrt{3}$；　　　

（3）解：在△OEB和△CED中，
$\left\{\begin{array}{l}{OE=EC}\\{∠OEB=∠CED}\\{BE=DE}\end{array}\right.$，
∴△OEB≌△CED，
∴S_阴影=S_扇形BOC
∴S_阴影=$\frac{60π•1{2}^{2}}{360}$=24π．
答：阴影部分的面积是24π．

点评 本题考查切线的判定、垂径定理、扇形的面积公式，全等三角形的判定和性质．平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是发现四边形ABDC是平行四边形，属于中考常考题型．