Question

 从三角形木板上截下一块圆形的木板，
（1）怎样才能使圆的面积尽可能大？（不写作法，但要保留作图痕迹）
（2）若△ABC的三边长为AB=4，BC=5，AC=6，求△ABC的面积；
（3）在（1）、（2）的基础上，求最大圆铁皮的半径．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心,作图—复杂作图

专题：

分析：（1）利用尺规作图法直接作△ABC的内切圆；
（2）作BC边上的高AM，运用勾股定理求出AM的长即可解决问题．
（3）连接OA、OB、OC、OD、OE、OF；运用△ABC的面积=△OAB、△OBC、△OAC的面积之和，即可解决问题．

解答：解：（1）如图1所示，作△ABC的内切圆O；

（2）过点A作AM⊥BC于点M，设BM=x，则CM=5-x；
由勾股定理得：AB²-BM²=AM²，AC²-CM²=AM²，
故4²-x²=6²-（5-x）²，整理得10x=5，
∴x=

1

2

，AM=

42-( 1 2 )2

=

63

2

，
∴S△ABC=

1

2

BC•AM=

1

2

×5×

63

2

=

5 63

4

．
（3）设⊙O的半径为r，
∵S_△ABC=S_△OAB+S_△OBC+S_△OAC
=

AB•OD

2

+

BC•OE

2

+

AC•OF

2

=

15r

2

，
∴

5 63

4

=

15r

2

，
解得r=

63

6

，
∴最大圆铁皮的半径为

63

6

．

点评：本题以三角形为载体在考查三角形内切圆的作法的同时，还渗透了对勾股定理等几何知识的考查，对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．