Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=α，边AB绕点B按顺时针方向旋转2α得到DB，交AC边点E，连接AD，当

AD

BE

=

3

时，∠α=

 

．

Answer 1

考点：旋转的性质

专题：计算题

分析：作BF⊥AD于F，如图，由旋转的性质得BA=BD，∠ABD=2α，则根据等腰三角形的性质得到BF⊥AD，BF平分∠ABD，AF=DF，再利用“AAS”证明△ABC≌△ABF，得到AF=BC，由于

AD

BE

=

3

，则AF=

3

2

BE=BC，在Rt△BCE中，根据正弦的定义可计算出∠CEB=60°，然后根据三角形外角性质得∠CEB=α+2α=60°，易得α=20°．

解答：解：作BF⊥AD于F，如图，
∵边AB绕点B按顺时针方向旋转2α得到DB，
∴BA=BD，∠ABD=2α，
∴BF⊥AD，BF平分∠ABD，AF=DF，
∴∠ABF=α，
在△ABC和△ABF中，

∠ACB=∠AFB ∠BAC=∠ABF AB=BA

，
∴△ABC≌△ABF（AAS），
∴AF=BC，
∵

AD

BE

=

3

，
∴AF=

3

2

BE，
∴BC=

3

2

BE，
在Rt△BCE中，∵sin∠CEB=

BC

BE

=

3

2

，
∴∠CEB=60°，
∴∠CEB=∠EAB+∠EBA=α+2α，
即α+2α=60°，
∴α=20°．
故答案为20°．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质和锐角三角函数．