Question

构建一个图形，求出22.5°和67.5°的正切值．

Answer 1

考点：解直角三角形

专题：计算题

分析：在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，延长CB到D，使BD=AB，连接AD，设AC=BC=x，根据等腰直角三角形的性质得∠ABC=45°，AB=

2

x，由于AB=BD=

2

x，则∠D=∠BAD，利用三角形外角性质可计算出∠D=22.5°，所以∠CAD=67.5°，然后在Rt△ADC中，根据正切的定义求解．

解答：解：如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，延长CB到D，使BD=AB，连接AD，
设AC=BC=x，
∵∠C=90°，AC=BC，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，AB=

2

x，
∵BD=AB=

2

x，
∴∠D=∠BAD，
而∠ABC=∠D+∠BAD，
∴∠D=

1

2

×45°=22.5°，
∴∠CAD=67.5°，
在Rt△ADC中，tan∠D=

AC

CD

=

x

2 x+x

=

2

-1，
tan∠CAD=

CD

AC

=

2 x+x

x

=

2

+1，
即22.5°和67.5°的正切值分别为

2

-1，

2

+1．

点评：本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．充分利用特殊角的三角函数值解决问题．