Question

如图，抛物线y=ax²+bx-4a经过A（-1，0）、C（0，4）两点，x与轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标；
（3）点P为第一象限抛物线上一点，是否存在使△PBC面积最大的点P？若不存在，请说明理由；若存在，求出点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）将点A、C的坐标代入抛物线的解析式中，然后解方程组即可．
（2）首先由（1）的抛物线解析式确定点D的坐标，此时可以看出CD平行于x轴，由于OB=OC，即△OCB是等腰直角三角形，所以∠OCB=∠DCB=45°，因此点D关于直线BC的对称点恰好在y轴上，将点C向下平移CD长个单位就能求出这个对称点的坐标．
（3）利用待定系数法先求出直线BC的解析式，然后过点P作y轴的平行线，交直线BC于点Q，用未知数设出点P、Q的坐标，即可得到线段PQ的长度表达式，以PQ为底、OB为高，即可得到△PBC的面积函数关系式，根据函数的性质即可求出△PBC的面积最大时，点P的坐标．

解答：解：（1）依题意，有：

a-b-4a=0 -4a=4

，解得

a=-1 b=3

∴抛物线的解析式：y=-x²+3x+4．

（2）将点D（m，m+1）代入y=-x²+3x+4中，得：
-m²+3m+4=m+1，化简，得：m²-2m-3=0
解得：m₁=-1（舍），m₂=3；
∴D（3，4），因此CD∥x轴；
由B（4，0）、C（0，4）可得：OB=OC=4，即△OBC是等腰直角三角形，得：
∠OCB=∠DCB=45°；
设点D关于直线BC的对称点为点E，则点E在y轴上，且CD=CE=3，OE=OC-CE=1，则：
点D关于直线BC的对称点的坐标为（0，1）．

（3）由B（4，0）、C（0，4）可知，直线BC：y=-x+4；
过点P作PQ∥y轴，交直线BC于Q，设P（x，-x²+3x+4），则Q（x，-x+4）；
∴PQ=（-x²+3x+4）-（-x+4）=-x²+4x；
S_△PCB=

1

2

PQ•OB=

1

2

×（-x²+4x）×4=-2（x-2）²+8；
所以，当P（2，6）时，△PCB的面积最大．

点评：此题考查的内容在二次函数综合题中较为常见，主要涉及了：二次函数解析式的确定、轴对称图形的性质、三角形面积的解法、二次函数的应用等基础知识；（2）题中，判断出CD与x轴平行以及△OBC的特殊形状是突破题目的关键．