Question

9．已知，Rt△OAB在直角坐标系内的位置如图所示，BA⊥OA，点B（4，4），反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）在第一象限内的图象经过线段OB的中点D，且与直线AB交于点C．
（1）求直线OB的解析式；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）联结OC，直接写出△OCB的面积．

Answer 1

分析 （1）根据函数图象和点B（4，4），可以求得直线OB的解析式；
（2）根据点B（4，4），反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）在第一象限内的图象经过线段OB的中点D，可以求得点D的坐标，从而可以求得反比例函数的解析式；
（3）根据已知条件可以求得点A、C的坐标，从而可以求得△OCB的面积．

解答 解：（1）设直线OB的函数解析式为y=kx，
4=4k，解得k=1，
即直线OB的解析式是y=x；
（2）∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）在第一象限内的图象经过线段OB的中点D，点B（4，4），
∴点D的坐标是（2，2），
∴$2=\frac{k}{2}$，
解得，k=4，
即反比例函数的解析式是$y=\frac{4}{x}$；
（3）连接OC，如右图所示，

当x=4时，$y=\frac{4}{4}$=1，
∴点C的坐标是（4，1），
∵点A（4，0），AC=1，AB=4，
∴S_△OCB=S_△OAB-S_△OAC=$\frac{4×4}{2}-\frac{4×1}{2}=6$，
即△OCB的面积是6．

点评 本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想找出所求问题需要的条件．