Question

17．如图，在△ABC中，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，连接DE．
（1）如图1，若AD=3，AB=BC=5，求ED的长；
（2）如图2，若∠ABC=45°，求证：CE+EF=$\sqrt{2}$ED；
（3）如图3，若∠ABC=45°，现将△ADC沿AC边翻折得到△AGC，连接EG、DG．猜想线段AE、DG、BE之间的数量关系，写出关系式，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理和直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求解；
（2）过点D作DM⊥ED交BE于点M，先证明△ACD≌△BFD和△AED≌△BMD，进一步通过等量代换和加减即可求解；
（3）过点D作DN⊥ED于点D交BE于点N，先证明△AED≌△BND，再论证四边形DGEN为平行四边形，通过等量代换即可求解．

解答 解：（1）如图1

∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∵AD=3，AB=BC=5，
∴AE=CE，DE=$\frac{1}{2}$AC，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴CD=BC-BD=1，
∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴DE=$\frac{\sqrt{10}}{2}$；

（2）如图2

过点D作DM⊥ED交BE于点M，
∵BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，
可证：∠CBE=∠CAD，∠EDF=∠BDM，
∵∠ABC=45°，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
在△ACD和△BFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠CBE}\\{AD=BD}\\{∠ADC=∠BDF=90°}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BFD，
∴FD=CD，AC=BF，
在△AED和△BMD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAD=DBM}\\{AD=BD}\\{∠EDF=∠BMD}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△BMD，
∴DE=DM，AE=BM，
∴FM=CE，
∴EF+EC=EF+FM=EM，
在Rt△DEM中，可求EM=$\sqrt{2}$ED，
∴EF+EC=$\sqrt{2}$ED；

（3）如图3
过点D作DN⊥ED于点D交BE于点N．
与（2）同理易证△AED≌△BND，
∴ED=ND，BN=AE，

∴∠DEB=45°，
∵BE⊥AC，
∴∠CED=∠BED=45°  
∴∠CEG=∠CED=45°
∴∠DEG=90°
∴∠DEG=∠EDN=90°
∴EG∥DN，又DG∥BE
∴四边形DGEN为平行四边形                
∴DG=EN
∵BE=EN+BN
∴BE=AE+DG．

点评 此题主要考查几何变换的综合问题，会构造三角形全等，会运用勾股定理求线段的长度，会灵活运用等量代换和加减是解题的关键．