Question

9．在矩形ABCD中，对角线AC、BD交与点O，AC=4，AB=2，点E是AD中点，点P是CD上一动点，则△OEP周长最小是$\sqrt{13}$+1．

Answer 1

分析 过E作关于CD的对称点F，连接OF交CD于P，P即为所求，此时PE+PO的值最小，最小值为OF，从而△OEP周长最小；根据勾股定理即可求得PO+PE的最小值，进而就可求得△OEP周长最小值．

解答 解：过E作关于CD的对称点F，连接OF交CD于P，P即为所求，此时PE+PO的值最小，最小值为OF，
∵AC=4，AB=2，
∴AD=BC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵点E是AD中点，
∴DE=$\sqrt{3}$，
∵在矩形ABCD中，OD=OB=OA
∴OE=$\frac{1}{2}$AB=1，OE⊥AD，
∴EF=2$\sqrt{3}$，
在RT△OEF中，OF=$\sqrt{O{E}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴PO+PE的最小值=OF=$\sqrt{13}$．
∴△OEP周长最小值=$\sqrt{13}$+1．
故答案为：$\sqrt{13}$+1．

点评 本题考查了轴对称-最短路线问题，根据轴对称的性质作出P点是解题的关键．