Question

如图，已知五边形ABCDE的五条边相等，五个内角也相等．对角线AC与BE相交于点F．（1）求∠AEB的度数；
（2）求证：四边形EFCD的四条边相等．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,多边形内角与外角

专题：证明题

分析：（1）根据五边形的内角和定理求出∠BAE，再根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解；
（2）先利用“边角边”证明△ABC和△BAE全等，再求出∠BAC=∠AEB=36°，再求出∠EAF=∠EFA=72°，然后根据等角对等边求出AE=EF，同理可求CF=BC，最后根据五边形ABCDE的五条边相等证明即可．

解答：（1）解：∵五边形ABCDE的五个内角相等，
∴∠BAE=

(5-2)•180°

5

=108°，
∵AB=AE，
∴∠AEB=∠ABE=

1

2

（180°-∠BAE）=

1

2

（180°-108°）=36°；

（2）证明：在△ABC和△BAE中，

AB=AB ∠ABC=∠BAE AE=BC

，
∴△ABC≌△BAE（SAS），
∴∠BAC=∠AEB=36°，
∴∠EAF=∠BAE-∠BAC=108°-36°=72°，
在△AEF中，∠EFA=180°-∠EAF-∠AEB=180°-72°-36°=72°，
∴∠EAF=∠EFA=72°，
∴AE=EF，
同理可求CF=BC，
又∵AE=DE=CD=BC，
∴EF=CF=CD=DE，
即四边形EFCD的四条边相等．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，多边形的内角和，根据角的度数相等求出相等的角是解题的关键．