Question

11．已知点A（1，c）和点B（3，d）是直线y=k₁x+b与双曲线y=$\frac{{k}_{2}}{x}$（k₂＞0）的交点
（1）过点A作AM⊥x轴，垂足为Μ，连结ΒΜ．若ΑΜ=ΒΜ，求≠Β的坐标．
（2）若点P在线段AB上，过点P作PE⊥x轴，垂足为Ε，并交双曲线y=$\frac{{k}_{2}}{x}$（k₂＞0）于点N．当$\frac{PN}{NE}$取最大值时，有PN=$\frac{1}{2}$，求此时双曲线的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据A坐标，以及AM垂直于x轴，确定出M坐标，表示出AM的长，根据AM=BM，列出d与c的关系式，再将A与B坐标代入得到c=3d，代入关系式求出d的值，即可确定出B的坐标；
（2）由（1）得c=3d=k₂，设直线AB解析式为y=k₁x+b，把A与B坐标代入表示出k₁与b，进而表示出直线AB解析式，根据P在线段AB上，设出P坐标，根据PE垂直于x轴，表示出E坐标，进而表示出N坐标，得到PN与NE，代入$\frac{PN}{NE}$，利用二次根式性质求出最大值，以及此时m的值，进而确定出N坐标，代入双曲线解析式求出k₂的值，即可确定出双曲线解析式．

解答 解：（1）∵A（1，c），AM⊥x轴，
∴M（1，0），AM=c，
∵B（3，d），
∴BM²=（3-1）²+d²，
∵AM=BM，即c²=（3-1）²+d²，
∵A（1，c）和点B（3，d）在双曲线y=$\frac{{k}_{2}}{x}$（k₂＞0）上得c=3d（d＞0），
∴（3d）²=（3-1）²+d²，
解得：d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴点B的坐标为（3，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）；
（2）由（1）得c=3d=k₂，
∴A（1，3d），B（3，d），∴直线AB为y=k₁x+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k_1}+b=3d\\ 3{k_1}+b=d\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k_1}=-d\\ b=4d\end{array}\right.$，即直线AB为y=-dx+4d，
点P在线段AB上，
∴设P（m，-dm+4d），其中1≤m≤3，
∵PE⊥x轴，
∴E（m，0），
∵PE交双曲线y=$\frac{3d}{x}$于点N，
∴N（m，$\frac{3d}{m}$），
∴PN=-dm+4d-$\frac{3d}{m}$，NE=$\frac{3d}{m}$，
∴$\frac{PN}{NE}$=$\frac{-dm+4d-\frac{3d}{m}}{\frac{3d}{m}}$=-$\frac{1}{3}$m²+$\frac{4}{3}$m-1=-$\frac{1}{3}$（m-2）²+$\frac{1}{3}$，
∵-$\frac{1}{3}$＜0，1≤m≤3，
∴当m=2时，$\frac{PN}{NE}$最大值为$\frac{1}{3}$，
把PN=$\frac{1}{2}$代入得：NE=$\frac{3}{2}$，
∴N（2，$\frac{3}{2}$）此时双曲线的解析式为y=$\frac{3}{x}$．

点评 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定反比例解析式，二次函数的性质，以及两点间的距离公式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．