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    如图，已知直线y=-2x+4与x轴、y轴分别相交于A、C两点，抛物线y=-2x2+bx+c经过点A、C．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）设抛物线的顶点为P，在抛物线上存在点Q，使△ABQ的面积等于△APC面积的4倍．求出点Q的坐标；
    （3）点M是直线y=-2x+4上的动点，过点M作ME垂直x轴于点E，在y轴（原点除外）上是否存在点F，使△MEF为等腰直角三角形？若存在，求出点F的坐标及对应的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）根据直线y=-2x+4求出点A、C的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；
    （2）根据抛物线解析式求出点P的坐标，过点P作PD⊥y轴于D，根据点P、C的坐标求出PD、CD，然后根据S△APC=S梯形APDO-S△AOC-S△PCD，列式求出△APC的面积，再根据抛物线解析式求出点B的坐标，从而得到AB的长度，然后利用三角形的面积公式求出△ABQ的点Q的纵坐标的值，然后代入抛物线求解即可得到点Q的坐标；
    （3）根据点E在x轴上，根据点M在直线y=-2x+4上，设点M的坐标为（a，-2a+4），然后分①∠EMF=90°时，利用点M到坐标轴的距离相等列式求解即可；②∠MFE=90°时，根据等腰直角三角形的性质，点M的横坐标的长度等于纵坐标长度的一半，然后列式进行计算即可得解．
    解答：解：（1）令x=0，则y=4，
    令y=0，则-2x+4=0，解得x=2，
    所以，点A（2，0），C（0，4），
    ∵抛物线y=-2x2+bx+c经过点A、C，
    ∴
    -2×4+2b+c=0
    c=4
    ，
    解得
    b=2
    c=4
    ，
    ∴抛物线的解析式为：y=-2x2+2x+4；

    （2）∵y=-2x2+2x+4=-2（x-
    1
    2
    ）2+
    9
    2
    ，
    ∴点P的坐标为（
    1
    2
    ，
    9
    2
    ），
    如图，过点P作PD⊥y轴于D，
    又∵C（0，4），
    ∴PD=
    1
    2
    ，CD=
    9
    2
    -4=
    1
    2
    ，
    ∴S△APC=S梯形APDO-S△AOC-S△PCD，
    =
    1
    2
    ×（
    1
    2
    +2）×
    9
    2
    -
    1
    2
    ×2×4-
    1
    2
    ×
    1
    2
    ×
    1
    2
    ，
    =
    45
    8
    -4-
    1
    8
    ，
    =
    3
    2
    ，
    令y=0，则-2x2+2x+4=0，
    解得x1=-1，x2=2，
    ∴点B的坐标为（-1，0），
    ∴AB=2-（-1）=3，
    设△ABQ的边AB上的高为h，
    ∵△ABQ的面积等于△APC面积的4倍，
    ∴
    1
    2
    ×3h=4×
    3
    2
    ，
    解得h=4，
    ∵4＜
    9
    2
    ，
    ∴点Q可以在x轴的上方也可以在x轴的下方，
    即点Q的纵坐标为4或-4，
    当点Q的纵坐标为4时，-2x2+2x+4=4，
    解得x1=0，x2=1，
    此时，点Q的坐标为（0，4）或（1，4），
    当点Q的纵坐标为-4时，-2x2+2x+4=-4，
    解得x1=
    1+
    		17
    2
    ，x2=
    1-
    		17
    2
    ，
    此时点Q的坐标为（
    1+
    		17
    2
    ，-4）或（
    1-
    		17
    2
    ，-4），
    综上所述，存在点Q（0，4）或（1，4）或（
    1+
    		17
    2
    ，-4）或（
    1-
    		17
    2
    ，-4）；

    （3）存在．
    理由如下：如图，∵点M在直线y=-2x+4上，
    ∴设点M的坐标为（a，-2a+4），
    ①∠EMF=90°时，∵△MEF是等腰直角三角形，
    ∴|a|=|-2a+4|，
    即a=-2a+4或a=-（-2a+4），
    解得a=
    4
    3
    或a=4，
    ∴点F坐标为（0，
    4
    3
    ）时，点M的坐标为（
    4
    3
    ，
    4
    3
    ），
    点F坐标为（0，-4）时，点M的坐标为（4，-4）；
    ②∠MFE=90°时，∵△MEF是等腰直角三角形，
    ∴|a|=
    1
    2
    |-2a+4|，
    即a=
    1
    2
    （-2a+4），
    解得a=1，
    -2a+4=2×1=2，
    此时，点F坐标为（0，1），点M的坐标为（1，2），
    或a=-
    1
    2
    （-2a+4），
    此时无解，
    综上所述，点F坐标为（0，
    4
    3
    ）时，点M的坐标为（
    4
    3
    ，
    4
    3
    ），
    点F坐标为（0，-4）时，点M的坐标为（4，-4）；
    点F坐标为（0，1），点M的坐标为（1，2）．
    点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了直线与坐标轴的交点的求解，待定系数法求二次函数解析式，二次函数顶点坐标的求解，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，等腰直角三角形的性质，综合性较强，难度较大，（3）要注意分情况讨论．
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    相等
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    2
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