Question

【题目】如图，直线与轴，轴分别相交于，两点，与双曲线（）相交于点，过作轴于点，，在点右侧的双曲线上取一点，作轴于，当以点，，为顶点的三角形与相似，则点的坐标是__________．

Answer 1

【答案】或

【解析】

先求出点A、点B的坐标，设点M的坐标为（m，n），分两种情况：当△MCH∽△BAO和△MCH∽△ABO时，由相似得比例求出m的值，即可得出点M的坐标．

解：直线y=x+1与x轴，y轴分别相交于A，B两点，

令x=0得y=1，令y=0得x=-2，

∴A（-2，0），B（0，1）．

设点M的坐标为（m，n），

∵点M在双曲线上，

∴n=．

当△MCH∽△BAO时，

可得，

即，

∴m-2=2n，即m-2=，

∴m2-2m-8=0，

解得：m1=4，m2=-2（舍去），

∴n==1，

∴M（4，1）；

当△MCH∽△ABO时，

可得，

即

整理得：2m-4=，

∴m2-2m-2=0，

解得：m1=1+，m2=1-（舍去），

∴n==-2，

∴M（1+，-2）．

综上，M（4，1）或M（1+，-2）．

故答案为：（4，1）或（1+，-2）．