Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是（8，4），连接AC，BC．

（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；

（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA？

（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x，BC是直角三角形；（2）当运动时间为时，PA=QA；

（3）点M的坐标为：M1（， ），M2（， ），M3（， ），M4（，﹣）．

【解析】（1）先确定出点A，B坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；用勾股定理逆定理证出AC2+BC2=AB2，则△ABC是直角三角形；

（2）根据运动表示出OP=2t，CQ=10﹣t，由已知条件证明Rt△AOP≌Rt△ACQ，得到OP=CQ即可；

（3）分当BM=BA，AM=AB，MA=MB三种情况分类讨论，由两点间的距离公式计算即可，

解：（1）∵直线y=﹣2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，

∴A（5，0），B（0，10），

∵抛物线过原点，

∴设抛物线解析式为y=ax2+bx，

∵抛物线过点A（5，0），C（8，4），

∴，∴，

∴抛物线解析式为y=x2﹣x，

∵A（5，0），B（0，10），C（8，4），

∴AB2=52+102=125，BC2=82+（10﹣4）2=100，AC2=42+（8﹣5）2=25，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC是直角三角形．

（2）如图1，

当P，Q运动t秒，即OP=2t，CQ=10﹣t时，

由（1）得，AC=OA，∠ACQ=∠AOP=90°，

在Rt△AOP和Rt△ACQ中，

AC=OA，PA=QA，

∴Rt△AOP≌Rt△ACQ，

∴OP=CQ，

∴2t=10﹣t，

∴t=，

∴当运动时间为时，PA=QA；

（3）存在，

∵y=x2﹣x，

∴抛物线的对称轴为x=，

∵A（5，0），B（0，10），

∴AB=5

设点M（，m），

①若BM=BA时，

∴（）2+（m﹣10）2=125，

∴m1=，m2=，

∴M1（， ），M2（， ），

②若AM=AB时，

∴（）2+m2=125，

∴m3=，m4=﹣，

∴M3（， ），M4（，﹣），

③若MA=MB时，

∴（﹣5）2+m2=（）2+（10﹣m）2，

∴m=5，

∴M（，5），此时点M恰好是线段AB的中点，构不成三角形，舍去，

∴点M的坐标为：M1（， ），M2（， ），M3（， ），M4（，﹣），

“点睛”此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的全等的性质和判定，等腰三角形的性质，解本题的关键是分情况讨论，也是本题的难点．