Question

10．（1）若关于x，y的方程组$\left\{\begin{array}{l}2x+5y=-6\\ ax-by=-4\end{array}$和$\left\{\begin{array}{l}3x-5y=16\\ bx+ay=-8\end{array}$的解相同，求（2a+b）²⁰¹⁵的值．
（2）关于x的方程x²-2ax+a²+a-1=0有两个实数根，化简$\sqrt{{a}^{2}-2a+1}$-|a-2|．

Answer 1

分析 （1）由题意将原方程组从新组合为$\left\{\begin{array}{l}{bx+ay=-8}\\{ax-by=-4}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{2x+5y=-6}\\{3x-5y=16}\end{array}\right.$，然后解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-2}\end{array}\right.$，并将其代入另一个方程组解得a，b的值即可；
（2）由一元二次方程有两个根可知△≥0，进而解得a的取值范围，然后根据a的范围化简原式得到答案．

解答 解：（1）∵关于x，y的方程组$\left\{\begin{array}{l}2x+5y=-6\\ ax-by=-4\end{array}$和$\left\{\begin{array}{l}3x-5y=16\\ bx+ay=-8\end{array}$的解相同，
∴方程组$\left\{\begin{array}{l}{bx+ay=-8}\\{ax-by=-4}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{2x+5y=-6}\\{3x-5y=16}\end{array}\right.$的解相同，
∴解方程组$\left\{\begin{array}{l}{2x+5y=-6}\\{3x-5y=16}\end{array}\right.$得到$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴把$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-2}\end{array}\right.$代入方程组$\left\{\begin{array}{l}{bx+ay=-8}\\{ax-by=-4}\end{array}\right.$得到$\left\{\begin{array}{l}{2b-2a=-8}\\{2a+2b=-4}\end{array}\right.$，
∴解方程组$\left\{\begin{array}{l}{2b-2a=-8}\\{2a+2b=-4}\end{array}\right.$得到$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴（2a+b）²⁰¹⁵=（-1）²⁰¹⁵=-1；

（2）∵关于x的方程x²-2ax+a²+a-1=0有两个实数根，
∴△≥0，
∴（-2a）²-4（a²+a-1）≥0，
∴-4a+4≥0，即a≤1，
∴a-1≤0，a-2≤-1，
∴原式=$\sqrt{（a-1）^{2}}$-|a-2|=-（a-1）+a-2=-1．

点评 本题考查了：1、熟练掌握二元一次方程组的定义极其解法；2、利用一元二次方程根的判别式（△=b²-4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．3、二次根式的性质与化简．本题难度不大，计算过程中需细心．