【题目】如图,点C为△ABD的外接圆上的一动点(点C不在 上,且不与点B,D重合),∠ACB=∠ABD=45°
(1)求证:BD是该外接圆的直径;
(2)连结CD,求证: AC=BC+CD;
(3)若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM,连接DM,试探究DM2 , AM2 , BM2三者之间满足的等量关系,并证明你的结论.
【答案】
(1)证明:∵ = ,
∴∠ACB=∠ADB=45°,
∵∠ABD=45°,
∴∠BAD=90°,
∴BD是△ABD外接圆的直径
(2)解:在CD的延长线上截取DE=BC,
连接EA,
∵∠ABD=∠ADB,
∴AB=AD,
∵∠ADE+∠ADC=180°,
∠ABC+∠ADC=180°,
∴∠ABC=∠ADE,
在△ABC与△ADE中,
,
∴△ABC≌△ADE(SAS),
∴∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,
∴∠BAD=∠CAE=90°,
∵ =
∴∠ACD=∠ABD=45°,
∴△CAE是等腰直角三角形,
∴ AC=CE,
∴ AC=CD+DE=CD+BC
(3)解:过点M作MF⊥MB于点M,过点A作AF⊥MA于点A,MF与AF交于点F,连接BF,
由对称性可知:∠AMB=∠ACB=45°,
∴∠FMA=45°,
∴△AMF是等腰直角三角形,
∴AM=AF,MF= AM,
∵∠MAF+∠MAB=∠BAD+∠MAB,
∴∠FAB=∠MAD,
在△ABF与△ADM中,
,
∴△ABF≌△ADM(SAS),
∴BF=DM,
在Rt△BMF中,
∵BM2+MF2=BF2,
∴BM2+2AM2=DM2.
【解析】(1)要证明BD是该外接圆的直径,只需要证明∠BAD是直角即可,又因为∠ABD=45°,所以需要证明∠ADB=45°;(2)在CD延长线上截取DE=BC,连接EA,只需要证明△EAF是等腰直角三角形即可得出结论;(3)过点M作MF⊥MB于点M,过点A作AF⊥MA于点A,MF与AF交于点F,证明△AMF是等腰三角形后,可得出AM=AF,MF= AM,然后再证明△ABF≌△ADM可得出BF=DM,最后根据勾股定理即可得出DM2 , AM2 , BM2三者之间的数量关系.
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【题目】已知二次函数 的图象如图.
(1)求它的对称轴与x轴交点D的坐标;
(2)将该抛物线沿它的对称轴向上平移,设平移后的抛物线与x轴,y轴的交点分别为A、B、C三点,若∠ACB=90°,求此时抛物线的解析式;
(3)设(2)中平移后的抛物线的顶点为M,以AB为直径,D为圆心作⊙D,试判断直线CM与⊙D的位置关系,并说明理由.
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【题目】某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元,空调的销售价为每台1750元,每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元,商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等.
(1)求每台电冰箱与空调的进价分别是多少?
(2)现在商城准备一次购进这两种家电共100台,设购进电冰箱x台,这100台家电的销售总利润为y元,要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍,总利润不低于13000元,请分析合理的方案共有多少种?并确定获利最大的方案以及最大利润.
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【题目】某一公路的道路维修工程,准备从甲、乙两个工程队选一个队单独完成.根据两队每天的工程费用和每天完成的工程量可知,若由两队合做此项维修工程,6天可以完成,共需工程费用385200元,若单独完成此项维修工程,甲队比乙队少用5天,每天的工程费用甲队比乙队多4000元,从节省资金的角度考虑,应该选择哪个工程队?
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【题目】太阳能光伏建筑是现代绿色环保建筑之一,老张准备把自家屋顶改建成光伏瓦面,改建前屋顶截面△ABC如图2所示,BC=10米,∠ABC=∠ACB=36°,改建后顶点D在BA的延长线上,且∠BDC=90°,求改建后南屋面边沿增加部分AD的长.(结果精确到0.1米) (参考数据:sin18°≈0.31,cos18°≈0.95.tan18°≈0.32,sin36°≈0.59.cos36°≈0.81,tan36°≈0.73)
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【题目】如图所示,在平面直角坐标系中,过点A(﹣ ,0)的两条直线分别交y轴于B、C两点,且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根
(1)求线段BC的长度;
(2)试问:直线AC与直线AB是否垂直?请说明理由;
(3)若点D在直线AC上,且DB=DC,求点D的坐标;
(4)在(3)的条件下,直线BD上是否存在点P,使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请直接写出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】在等腰△ABC中,AC=BC,以BC为直径的⊙O分别与AB,AC相交于点D,E,过点D作DF⊥AC,垂足为点F.
(1)求证:DF是⊙O的切线;
(2)分别延长CB,FD,相交于点G,∠A=60°,⊙O的半径为6,求阴影部分的面积.
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【题目】如图,在矩形AOBC中,O为坐标原点,OA、OB分别在x轴、y轴上,点B的坐标为(0,3 ),∠ABO=30°,将△ABC沿AB所在直线对折后,点C落在点D处,则点D的坐标为( )
A.( , )
B.(2, )
C.( , )
D.( ,3﹣ )
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【题目】如图,抛物线经过A(﹣1,0),B(5,0),C(0, )三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上有一点P,使PA+PC的值最小,求点P的坐标;
(3)点M为x轴上一动点,在抛物线上是否存在一点N,使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形?若存在,求点N的坐标;若不存在,请说明理由.
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