Question

如图，点E是正方形ABCD的边BC上一点，将△ABE绕着顶点A逆时针旋转90°得△ADF，连接EF，P为EF的中点，则下列结论：
①∠AEF=45°②EF=2CE③∠DAP=∠CFE④∠ADP=45°⑤PD∥AF中，正确的个数是

1. A.
   2个
2. B.
   3个
3. C.
   4个
4. D.
   5个

Answer 1

B
分析：①根据旋转的性质推知△AFE等腰直角三角形；
②在直角△CEF中，根据“30度角所对的直角边等于斜边的一半”进行判断；
③、④点A、P、D、F在以AF为直径的圆上，所以由圆周角定理进行证明；
⑤利用反证法．利用④的结论推知点P在对角线BD上，所以通过旋转的角度、正方形的性质来证明线段PD与AF不平行．
解答：解：①∵△ABE绕着顶点A逆时针旋转90°得到△ADF．
∴△ABE≌△ADF，∠FAE=90°，
∴AE=AF，即△AFE是等腰直角三角形，
∴∠AEF=45°．
故①正确；
②如图，连接CP．
∵∠ECF=90°，∴当∠CFE=30°时，EF=2EC．
∴EF不一定等于2EC．
故②不正确；
③∵P为EF的中点，AE=AF，
∴∠APF=90°．
∵∠APF=∠ADF=90°，
∴点A、P、D、F在以AF为直径的圆上，
∴∠DAP=∠DFP，即∠DAP=∠CFE．
故③正确；
④∵△AFE是等腰直角三角形，
∴∠AEF=AFE=45°．
又∵点A、P、D、F在以AF为直径的圆上，
∴∠ADP=∠AFP，即∠ADP=∠AFE=45°．
故④正确；
⑤如图，连接AC、BD交于点O．
∵∠ADP=45°，
∴点P在正方形ABCD的对角线BD上．
假设PD∥AF．
∵∠PAE=90°，即FA⊥AE，
∴DP⊥AE．
又∵AC⊥BD，
∴AE与AC重合，这与已知图形相矛盾，
∴PD与AE不平行．
故⑤错误．
综上所述，正确的说法有①③④．
故选B．
点评：本题考查了旋转的性质和正方形的性质．正方形的对角线平分对角，且两条对角线互相垂直．