Question

已知：平行四边形ABCD的两边AB、BC的长是关于x的方程x²-mx+

m

2

-

1

4

=0的两个实数根．
（1）试说明：无论m取何值方程总有两个实数根
（2）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（3）若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？

Answer 1

考点：平行四边形的性质,根的判别式,菱形的判定

专题：

分析：（1）利用根的判别式求出△的符号进而得出答案；
（2）利用菱形的性质以及一元二次方程的解法得出答案；
（3）将AB=2代入方程解得m=

5

2

，进而得出x的值．

解答：（1）证明：∵关于x的方程x²-mx+

m

2

-

1

4

=0，△=m²-2m+1=（m-1）²
∵无论m取何值（m-1）²≥0
∴无论m取何值方程总有两个实数根；

（2）解：∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC即（m-1）²=0，
∴m=1代入方程得：
∴x2-x+

1

4

=0
∴x₁=x₂=

1

2

，
即菱形的边长为

1

2

；

（3）解：将AB=2代入方程x²-mx+

m

2

-

1

4

=0，
解得：m=

5

2

，
将m=

5

2

代入方程，x²-mx+

m

2

-

1

4

=0，
解得：x₁=2，x₂=

1

2

，
即BC=

1

2

，
故平行四边形ABCD的周长为5．

点评：此题主要考查了一元二次方程的解法以及菱形的性质和根的判别式等知识，得出m的值是解题关键．