Question

等边三角形ABC的边长为3，点P、Q分别是AB、BC上的动点（点P、Q与三角形ABC的顶点不重合），且AP=BQ，AQ、CP相交于E．
（1）求证：△ABQ≌△CAP；
（2）求证：△APE∽△ABQ；
（3）设线段AP为x，线段CP为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：常规题型

分析：（1）根据题干中给出条件即可证明△ABQ≌△CAP；
（2）过P作PH⊥AC交AC于H，构建RT△PCH即可解题．

解答：解：（1）在△ABQ和△CAP中，

AC=AB ∠CAP=∠ABQ AP=BQ

，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），
（2）∵△ABQ≌△CAP，
∴∠APE=∠AQB，
∵∠BAQ=∠PAE
∴△APE∽△ABQ；
（3）过P作PH⊥AC交AC于H，

由∠BAC=60°，AP=x，
∴AH=

x

2

，PH=

3 x

2

．
CH=3-

x

2

，
∴y²=PC²=PH²+CH²，
∴y²=（

3 x

2

）²+（3-

x

2

）²=

3

4

x²+9-3x+

1

4

x²
∴y=

x2-3x+9

.0＜x＜3．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了相似三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质．