Question

在一块钝角三角形的余料上，加工成正方形零件，使正方形的至少3个顶点都在三角形边上，若三角形的三边长分别为a、b、c，且a＞b＞c，问正方形的2个顶点放在哪条边上可使加工出来的正方形零件面积最大？

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,二次函数的最值

专题：常规题型

分析：设a、b、c三边上的高分别为h_a、h_b、h_c，△ABC的面积为S，用S、a、b、c、h_a、h_b、h_c表示出正方形的边长，比较出其大小即可．

解答：解：过A作AD⊥BC，作EF∥BC使EF=GD，

设a、b、c三边上的高分别为h_a、h_b、h_c，△ABC的面积为S，
三边上正方形的边长分别为x_a、x_b、x_c，
当两个顶点在BC上时，EF∥BC
∴△AEF∽△ACB
∴

EF

BC

=

AG

AD

，
∴

xa

a

=

ha-xa

ha

解得：x_a=

a•ha

a+ha

∵S=

1

2

a•h_a，
∴x_a=

2S

a+ha

，
同理：x_b=

2S

b+hb

，x_c=

2S

c+hc

，
作差比较可得x_a＜x_b＜x_c，
即当正方形的2个顶点放在最短边上可使正方形零件面积最大．

点评：本题考查的是相似三角形在实际生活中的运用，解答此题的关键是要熟知三角形的面积为定值解答．