Question

如图，抛物线y=-

3

4

x²+3与x轴交于A，B两点，与直线y=-

3

4

x+b相交于B，C两点，连结A，C两点．
（1）求直线BC的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）在直线BC上方的抛物线上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值．若没有，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）首先求出A，B点坐标，再将点B、C的坐标代入直线的解析式中，然后得出b的值即可；
（2）首先求出C点坐标进而求出△ABC的面积；
（3）过点P作y轴的平行线，交直线BC于点Q，用未知数设出点P、Q的坐标，即可得到线段PQ的长度表达式，以PQ为底、C到B的水平距离为高，即可得到△PBC的面积函数关系式，根据函数的性质即可求出△PBC的面积最大时，点P的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线y=-

3

4

x²+3与x轴交于A，B两点，
∴y=0时，0=-

3

4

x²+3，
解得：x₁=-2，x₂=2，
∴A（-2，0），B（2，0），
∵抛物线y=-

3

4

x²+3与直线y=-

3

4

x+b相交于B，C两点，
∴0=-

3

4

×2+b，
解得：b=

3

2

，
故直线BC的解析式为：y=-

3

4

x+

3

2

；

（2）将两函数解析式联立得出：

y=- 3 4 x2+3 y=- 3 4 x+ 3 2

，
解得：

x1=2 y1=0

，

x2=-1 y2= 9 4

，
故C（-1，

9

4

），
则△ABC的面积为：

1

2

×4×

9

4

=

9

2

；

（3）过点P作PQ∥y轴，交直线BC于Q，设P（x，-

3

4

x²+3），则Q（x，-

3

4

x+

3

2

）；
∴PQ=（-

3

4

x²+3）-（-

3

4

x+

3

2

）=-

3

4

x²+

3

4

x+

3

2

；
S_△PCB=

1

2

×（-

3

4

x²+

3

4

x+

3

2

）×3=-

9

8

x²+

9

8

x+

9

4

=-

9

8

（x-

1

2

）²+

81

32

；
当x=

1

2

时，y=

45

16

，
所以，当P（

1

2

，

45

16

）时，△PCB的面积最大为

81

32

．

点评：此题考查了二次函数的综合应用，要注意距离最短问题的求解关键是点的确定，还要注意面积的求解可以借助于图形的分割与拼凑，特别是要注意数形结合思想的应用．