Question

14．如图，四边形ABCD是筝形，且AB=8，BC=4，∠ABC=90°，过D作DE⊥AB交AC于点F，连接BF．求证：DF=CD，并判断四边形BCDF的形状．

Answer 1

分析 由四边形ABCD是筝形，得出AB=AD，BC=CD，由SSS证明△ABC≌△ADC，得出∠ADC=∠ABC=90°，∠BAC=∠DAC，由角的互余关系和对顶角相等得出∠DCF=∠DFC，即可得出DF=CD；证出DF∥BC，DF=BC得出四边形BCDF是平行四边形，即可得出结论．

解答 证明：∵四边形ABCD是筝形，
∴AB=AD，BC=CD，
在△ABC和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{BC=DC}&{\;}\\{AC=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠ADC=∠ABC=90°，∠BAC=∠DAC，
∴∠DCF+∠DAC=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠AEF=90°，∠AFE+∠BAC=90°，
∴∠DCF=∠AFE，
∵∠DFC=∠AFE，
∴∠DCF=∠DFC，
∴DF=CD；
四边形BCDF是菱形；理由如下：
∵∠ABC=∠AEF=90°，
∴DF∥BC，
∵DF=CD，BC=CD，
∴DF=BC，
∴四边形BCDF是平行四边形，
又∵DF=CD，
∴四边形BCDF是菱形．

点评 本题考查了筝形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定；本题综合性强，有一定难度．