Question

如图，点E、F、G、H分别在菱形ABCD的四条边上，且BE=BF=DG=DH，连接EF，FG，GH，HE得到四边形EFGH．

（1）求证：四边形EFGH是矩形；

（2）设AB=a，∠A=60°，当BE为何值时，矩形EFGH的面积最大？

Answer 1

【考点】菱形的性质；二次函数的最值；矩形的判定与性质．

【分析】（1）利用等腰三角形的性质：等边对等角，以及平行线的性质可以证得∠DGH+∠CGH=90°，则∠HGF=90°，根据三个角是直角的四边形是矩形，即可证得；

（2）设BE的长是x，则利用x表示出矩形EFGH的面积，根据函数的性质即可求解．

【解答】（1）证明：∵DG=DH，

∴∠DHG=∠DGH=，

同理，∠CGF=，

∴∠DGH+∠CGF=，

又∵菱形ABCD中，AD∥BC，

∴∠D+∠C=180°，

∴∠DGH+∠CGF=90°，

∴∠HGF=90°，

同理，∠GHE=90°，∠EFG=90°，

∴四边形EFGH是矩形；

（2）AB=a，∠A=60°，则菱形ABCD的面积是： a²，

设BE=x，则AE=a﹣x，

则△AEH的面积是：，

△BEF的面积是：，

则矩形EFGH的面积y=a²﹣﹣，

即y=﹣x²+ax，

则当x==时，函数有最大值．

此时BE=．

【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的判定以及二次函数的性质，正确利用x表示出矩形EFGH的面积是关键．