Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，CE是边AB上的高，且，CE的延长线交⊙O于点D．
（1）求证：线段AB是⊙O的直径；
（2）若⊙O的半径为5，CD=8，求BE的长．

Answer 1

（1）证明：∵CE是边AB上的高，
∴∠AEC=∠CEB=90°
∵，
∴△ACE∽△CBE
∴∠ACE+∠BCE=90°
∴线段AB是⊙O的直径；

（2）解：∵AB为直径，AB⊥CD，
∴∠AEC=90°，CE=DE．
∵CD=8，
∴．
∵OC=5，
∴OE=
∴BE=OB-OE=5-3=2．
分析：（1）证得∴△ACE∽△CBE后即可证得∠ACE+∠BCE=90°，利用90°的圆周角所对的圆周角是直径证得线段AB是⊙O的直径；
（2））根据AB为直径，AB⊥CD，得到∠AEC=90°，CE=DE．然后根据CD=8，求得CE，然后利用勾股定理求得OE即可求得BE的长．
点评：本题考查了圆的综合知识，解题的关键是正确的理解圆周角定理及相似三角形的证明方法，本题中最重点的知识是证明三角形全等．