Question

已知抛物线y=ax²+bx+c经过P（0，-1）、Q（1，2）、M（-3，2）三点．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）在此抛物线上求出到两坐标轴距离相等的点的坐标．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,二次函数图象上点的坐标特征

专题：

分析：（1）将P（0，-1）、Q（1，2）、M（-3，2）三点的坐标分别代入y=ax²+bx+c，利用待定系数法即可求出此抛物线的表达式；
（2）到两坐标轴距离相等的点的坐标满足的条件是：横坐标与纵坐标相等或者横坐标与纵坐标互为相反数，将y=x和y=-x分别代入（1）中所求的解析式，得到关于x的一元二次方程，解方程求出x的值，再得到y的值，即可求解．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过P（0，-1）、Q（1，2）、M（-3，2）三点，
∴

c=-1 a+b+c=2 9a-3b+c=2

，解得

a=1 b=2 c=-1

，
∴此抛物线的表达式为y=x²+2x-1；

（2）①将y=x代入y=x²+2x-1，得x²+2x-1=x，
整理得，x²+x-1=0，
解得x=

-1± 5

2

，
所以此抛物线上到两坐标轴距离相等的点的坐标为（

-1+ 5

2

，

-1+ 5

2

），（

-1- 5

2

，

-1- 5

2

）；
②将y=-x代入y=x²+2x-1，得x²+2x-1=-x，
整理得，x²+3x-1=0，
解得x=

-3± 13

2

，
所以此抛物线上到两坐标轴距离相等的点的坐标为（

-3+ 13

2

，

3- 13

2

），（

-3- 13

2

，

3+ 13

2

）；
综上所述，此抛物线上到两坐标轴距离相等的点的坐标为（

-1+ 5

2

，

-1+ 5

2

），（

-1- 5

2

，

-1- 5

2

），（

-3+ 13

2

，

3- 13

2

），（

-3- 13

2

，

3+ 13

2

）．

点评：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．