Question

如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E．
（1）求证：∠BCA=∠BAD；
（2）若∠BAC=30°，求DE的长；
（3）求证：BE是⊙O的切线．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：（1）根据等腰三角形的性质，由BD=BA得到∠BDA=∠BAD，再根据圆周角定理得到∠BCA=∠BDA，所以∠BCA=∠BAD；
（2）在Rt△ABC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到AB=

3

BC=5

3

，则BD=5

3

，在Rt△BED中，利用∠BDC=∠BAC=30°，则可计算出BE=

1

2

BD=

5 3

2

，DE=

3

BE=

15

2

；
（3）连结BO并延长交AD于F，如图，根据等腰三角形的性质和外心的性质得到BF⊥AD，再利用圆内接四边形的性质得∠ADC=180°-∠ABC=90°，所以BF∥DE，而BE⊥DE，于是得到BE⊥BF，然后根据切线得判定定理即可得到BE是⊙O的切线．

解答：（1）证明：∵BD=BA，
∴∠BDA=∠BAD，
∵∠BCA=∠BDA，
∴∠BCA=∠BAD；
（2）解：在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，BC=5，
∴AB=

3

BC=5

3

，
∴BD=BA=5

3

，
∵BE⊥DC，
∴∠BED=90°，
而∠BDC=∠BAC=30°，
∴BE=

1

2

BD=

5 3

2

，
∴DE=

3

BE=

15

2

；
（3）证明：连结BO并延长交AD于F，如图，
∵BA=BD，
∴BF⊥AD，
∵∠ADC=180°-∠ABC=90°，
∴BF∥DE，
而BE⊥DE，
∴BE⊥BF，
∴BE是⊙O的切线．

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．