Question

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D为直线AC上一点，且△ABD是等腰三角形，求△ABD的周长．

Answer 1

考点：等腰三角形的判定,勾股定理

专题：分类讨论

分析：分三种情况讨论，当BA=BD时，可知AD=2AC=12；当BA=AD时，两种情况当C、D在A点两侧时，CD=AD+AC=16，利用勾股定理可求得BD，当C、D在A点同侧时，则CD=4，同理求得BD；当AD=BD时，设AD=BD=x，利用勾股定理可求得x；再计算其周长即可．

解答：解：∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10，
当BA=BD=10时，则可知AD=2AC=12，则△ABC的周长为10+10+12=32；
当BA=AD=10时，
①若C、D在点A的两侧，则CD=CA+DA=6+10=16，在Rt△BCD中，由勾股定理可得BD=

BC2+CD2

=

162+82

=8

5

，则△ABC的周长为：10+10+8

5

=20+8

5

，
②若C、D在点A的同侧，则CD=AD-AC=10-6=4，在Rt△BCD中，由勾股定理可得BD=

BC2+CD2

=

42+82

=4

5

，则△ABC的周长为：10+10+4

5

=20+4

5

，
当AD=BD时，设AD=BD=x，则CD=AD-AC=x-6，在Rt△BCD中，由勾股定理可得BD²=BC²+CD²，即x²=（x-6）²+8²，解得x=

25

3

，则△ABC的周长为：10+

25

3

+

25

3

=

80

3

，
综上可知△ABC的周长为32或20+8

5

或20+4

5

或

80

3

．

点评：本题主要考查等腰三角形的性质，分三种情况确定出点D的位置是解题的关键，注意方程思想的应用．