Question

已知关于x的方程mx²+2（m+1）x+m=0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的两个实数根的平方和为6，求m的值．

Answer 1

分析：（1）若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式△=b²-4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围；
（2）两个实数根的平方和为6，即（α+β）²-2αβ=6，根据一元二次方程的根与系数的关系解答．

解答：解：（1）由题意，得

△=4(m+1)2-4m2≥0 m≠0

解之得：m≥-

1

2

且m≠0；
（2）设原方程的两个根为α、β，
则α+β=-

2(m+1)

m

，αβ=1．
依题意，得α²+β²=6，
∴（α+β）²-2αβ=6．
即

4(m+1)2

m2

-2=6
解之得m₁=1+

2

，m₂=1-

2

，
由（1）知：m≥-

1

2

且m≠0，
∵1+

2

＞-

1

2

，1-

2

＞-

1

2

∴m=1±

2

．

点评：总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．
一元二次方程根与系数的关系：x_l+x₂=-

b

a

；x_l•x₂=

c

a

．