Question

如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）线段OE与OF是否相等？如果相等，请加以证明；如不相等，说明理由；
（2）当点O在边AC上运动时，四边形AECF有没有可能是矩形吗？若有可能，请你指出O点的位置，并加以证明；若不可能，则说明理由．

Answer 1

解：（1）OE=OF（学生最后结论也给分）
理由是：∵MN∥BC
∴∠OEC=∠BCE
∵∠ACE=∠BCE∴∠OEC=∠ACE
∴OE=OC
同理OF=OC
∴OE=OF；

（2）当O在AC的中点时，四边形AECF是矩形
理由是：∵OA=OC，OE=OF
∴四边形AECF是平行四边形
∵OA+OC=OE+OF
即AC=EF
∴四边形AECF是矩形．
（用有一角是直角的平行四边形是矩形亦可）
分析：（1）在角平分线中，分两角相等，又MN∥BC，通过内错角，可得出OE，OF分别与OC的关系．
（2）考查矩形的判定定理，根据对角线平行且相等的平行四边形为矩形，进行判定．
点评：掌握角平分线的性质，熟练掌握矩形的性质及判定定理．