Question

25、如图，已知：BC、AD相交于O点，AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD．求证：（1）AD=BC；（2）AO=BO．

Answer 1

分析：（1）因为AC⊥BC，BD⊥AD，可得△ACB和△BDA是直角三角形，条件AC=BD和公共边AB．用HL可判定以上两个三角形全等，问题得证；
（2）要证明AO=BO，就要证明三角形AOC和BOD全等．在三角形AOC和BOD中，已知的条件有对顶角∠AOC=∠BOD，有垂直得∠C=∠D=90°，所以可判定Rt△COA≌Rt△DOB，问题得证．

解答：证明：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠C=∠D=90°，
∵AC=BD，AB=BA，
∴Rt△ACB≌△Rt△BDA．
∴AD=BC．
（2）∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠C=∠D=90°，
∵∠AOC=∠BOD，AC=BD，
∴Rt△COA≌Rt△DOB．
∴AO=BO．

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，常用的判定方法为：SAS，SSS，AAS，ASA．常用到的性质是：对应角相等，对应边相等．在证明中还要注意图形中隐藏条件的挖掘如：本题中的对顶角和公共边．