Question

已知：如图所示，点P是⊙O外的一点，PB与⊙O相交于点A、B，PD与⊙O相交于C、D，AB=CD．
求证：（1）PO平分∠BPD；
（2）PA=PC；
（3）．

Answer 1

证明：（1）OG⊥CD于G，过O作OF⊥AB于F，
∵AB=CD，
∴由垂径定理得：AF=AB，CG=CD，
∴AF=CG，
∵OA=OC，
由勾股定理得：OF=OG，
∵OF⊥AB于F，OG⊥CD，
∴PO平分∠BPD．

（2）∵PO平分∠BPD，
∴∠1=∠2．
∵OF⊥PB，OG⊥PD，
∴∠3=∠4．
∴PF=PG．
∵AB=CD，
∴，．
∴AF=CG．
∴PA=PC．

（3）∵AB=CD，
∴．
∵OF⊥PB，OG⊥PD，
∴，．
∴．
∵∠3=∠4，
∴．
∴．
分析：（1）OG⊥CD于G，过O作OF⊥AB于F，连接OA、OC，求出AF=CG，根据勾股定理得出OF=OG，所以PO平分∠BPD；
（2）直接利用（1）中求得的结论可知PF=PG，所以，所以AF=CG，即PA=PC；
（3）利用等弧之间的减法计算即可得到．
点评：本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的应用能力，掌握同圆或等圆中圆心角、弧、圆周角之间的关系是解题的关键．