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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,E为BC边上的一点,且AE与DE分别平分∠BAD和∠ADC

(1)求证:AE⊥DE;
(2)设以AD为直径的半圆交AB于F,连结DF交AE于G,已知CD=5,AE=8.
①求BC的长;
②求 值.

【答案】
(1)

证明:在平行四边形ABCD中,∵AB∥CD,

∴∠BAD+∠ADC=180°.

又∵AE、DE平分∠BAD、∠ADC,

∴∠DAE+∠ADE=90°,

∴∠AED=90°,

∴AE⊥DE


(2)

解:①在平行四边形ABCD中,∵AD∥BC,AB=CD=5,AD=BC,

∴∠DAE=∠BEA,

又∵AE平分∠BAD,即∠DAE=∠BAE,

∴∠BEA=∠BAE,

∴BE=AB=5,

同理EC=CD=5,

∴BC=BE+EC=10,

②∵AD=BC=10,AE=8,

在Rt△AED中,DE= = =6,

又∵AE是∠BAD的角平分线,

∴∠FAG=∠DAE,

∵AD是直径,

∴∠AFD=90°,

∴tan∠FAG=

=tan∠DAE= = =


【解析】(1)由∠BAD+∠ADC=180°.又因为AE、DE平分∠BAD、∠ADC,推出∠DAE+∠ADE=90°,即可推出∠AED=90°,由此即可解决问题.(2)①只要证明BA=BW,CD=CE即可解决问题.②由tan∠FAG= ,可得 =tan∠DAE= ,求出DE即可解决问题.

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