Question

【题目】如图，直线y=4﹣x与两坐标轴分别相交于A、B点，点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外），过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于点D．

（1）当点M在AB上运动时，则四边形OCMD的周长= ．
（2）当四边形OCMD为正方形时，将正方形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为a（0＜a≤4），在平移过程中，当平移距离a为多少时，正方形OCMD的面积被直线AB分成1：3两个部分？

Answer 1

【答案】
（1）8
（2）

解：∵当四边形为OCMD为正方形时，OC=CM，即x=4﹣x，解得：x=2，

∴S正方形OCMD的面积=4．

∵正方形OCMD的面积被直线AB分成1：3两个部分，

∴两部分的面积分别为1和3．

当0＜a≤2时，如图1所示：

∵直线AB的解析式为y=4﹣x，

∴∠BAO=45°．

∴△MM′E为等腰直角三角形．

∴MM′=M′E．

∴ MM′2=1．

∴MM′= ，即a=

当2＜a＜4时，如图2所示：

∵∠BAO=45°，

∴△EO′A为等腰直角三角形．

∴EO′=O′A．

∴ O′A2=1，解得：O′A= ．

∵将y=0代入y=4﹣x得；4﹣x=0，解得；x=4，

∴OA=4．

∴OO′=4﹣ ，即a=4﹣ ．

综上所述，当平移的距离为a= 或a=4- 时，正方形OCMD的面积被直线AB分成1：3两个部分

【解析】解：（1）设OC=x，则CM=4﹣x．
∵MC⊥OA，MD⊥OB，OD⊥OC，
∴四边形OCMD为矩形，
∴四边形OCMD的周长=OD+OC+CM+DM=2（CO+CM）=2（x+4﹣x）=2×4=8．
所以答案是：8．
【考点精析】通过灵活运用图形的平移，掌握对应线段,对应点所连线段平行（或在同一直线上）且相等；对应角相等；平移方向和距离是它的两要素即可以解答此题．