【题目】如图,正方形ABCD、等腰Rt△BPQ的顶点P在对角线AC上(点P与A、C不重合),QP与BC交于E,QP延长线与AD交于点F,连接CQ.
(1)①求证:AP=CQ;②求证:PA2=AFAD;
(2)若AP:PC=1:3,求tan∠CBQ.
【答案】(1)①证明见解析;②证明见解析;(2)
【解析】整体分析:
(1)①用SAS证明△ABP≌△CBQ;②利用①的结论和△EPC与△EBQ组成的”8”字形证明△APF∽△ABP;(2)结合△ABP≌△CBQ,证∠PCQ=90°,由②可得∠CBQ=∠CPQ,又CQ=AP,根据正切的定义即可求解.
(1)①∵四边形ABCD是正方形,∴AB=CB,∠ABC=90°,∴∠ABP+∠PBC=90°,
∵△BPQ是等腰直角三角形,∴BP=BQ,∠PBQ=90°,∴∠PBC+∠CBQ=90°
∴∠ABP=∠CBQ,∴△ABP≌△CBQ,∴AP=CQ;
②∵四边形ABCD是正方形,∴∠DAC=∠BAC=∠ACB=45°,
∵∠PQB=45°,∠CEP=∠QEB,∴∠CBQ=∠CPQ,
由①得△ABP≌△CBQ,∠ABP=∠CBQ
∵∠CPQ=∠APF,∴∠APF=∠ABP,∴△APF∽△ABP,
(本题也可以连接PD,证△APF∽△ADP)
(2)由①得△ABP≌△CBQ,∴∠BCQ=∠BAC=45°,
∵∠ACB=45°,∴∠PCQ=45°+45°=90°
∴tan∠CPQ=,
由①得AP=CQ,
又AP:PC=1:3,∴tan∠CPQ,
由②得∠CBQ=∠CPQ,
∴tan∠CBQ=tan∠CPQ=.
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【题目】下列说法:①符号不同的两个数互为相反数;②多个有理数相乘,负因数的个数为奇数个时积为负;③若A,M,B三点在同一直线上,且AM=AB,则M为线段AB的中点;④比一个钝角小90°的角一定和这个钝角的补角互余.其中正确的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
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【题目】已知a,b,c三个数在数轴上对应点的位置如图所示,下列几个判断:①a<c<b;②ab<0;③a+b>0;④c﹣a<0中,错误的有( )个.
A.1B.2C.3D.4
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【题目】某天一个巡警骑摩托车在一条南北大道上巡逻,他从岗亭出发,规定岗亭为原点,向北为正,这段时间行驶记录如下(单位:千米) +10,-9,+7,-15,+6,-14,+4,-2
(1)最后停留的地方在岗亭的哪个方向?距离岗亭多远?
(2)若摩托车行驶,每千米耗油0.06升,每升6.2元,且最后返回岗亭,这一天耗油共需多少元?
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【题目】“低碳生活,绿色出行”,共享单车已经成了很多人出行的主要选择,今年1月份,“摩拜”共享单车又向长沙河西新投放共享单车640辆.
(1)若1月份到3月份新投放单车数量的月平均增长率相同,3月份新投放共享单车1000辆.求月平均增长率。
(2)考虑到共享单车市场竞争激烈,摩拜公司准备用不超过60000元的资金再购进A,B两种规格的自行车100辆,且A型车不超过60辆。已知A型的进价为500元/辆,B型车进价为700元/辆,设购进A型车m辆,求出m的取值范围。
(3)已知A型车每月产生的利润是100元/辆,B型车每月产生的利润是90元/辆,在(2)的条件下,求公司每月的最大利润。
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【题目】如图,在△ABC中,点D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,连接DE,EF,DF,则下列说法不正确的是( )
A. S△DEF=S△ABC
B. △DEF≌△FAD≌△EDB≌△CFE
C. 四边形ADEF,四边形DBEF,四边形DECF都是平行四边形
D. 四边形ADEF的周长=四边形DBEF的周长=四边形DECF的周长
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【题目】某学校的“图书角”平均每天借出图书 50 册.如果某天借出 51 册,就记作+1;如果某天借出 45 册,就记作-5.上星期该“图书角”借出图书数量记录如下表:
星期一 | 星期二 | 星期三 | 星期四 | 星期五 |
0 | +10 | +4 | -3 | -6 |
(1)上星期五借出图书多少册?
(2)上星期二比上星期五多借出图书多少册?
(3)上星期平均每天借出图书多少册?
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【题目】新合作超市最近进了一批玩具,进价每个15元,今天共卖山20个,实际卖出的价格以每个18元为标准,超过的记为正,不足的记为负,记录如下:
实际每个售出价格与标准的差值(单位:元) | +3 | -1 | +2 | +1 |
个数 | 5 | 4 | 6 | 5 |
(1)这个超市今天卖出玩具的平均价格是多少?
(2)这个超市今天卖出的玩具赚了多少元?
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