Question

19．已知α、β是一元二次方程x²-7x+8=0的两个实数根，且α＞β，不解方程，求$\frac{2}{α}$+3β²的值．

Answer 1

分析 由题可得：α+β=7，αβ=8，则α²+β²=（α+β）²-2αβ=33，（α-β）²=（α+β）²-4αβ=17，而α＞β，则α-β=$\sqrt{17}$，设A=$\frac{2}{α}$+3β²，B=$\frac{2}{β}$+3α²，求出A+B及A-B即可得出答案．

解答 解：由题可得：α+β=7，αβ=8，
则α²+β²=（α+β）²-2αβ=33，（α-β）²=（α+β）²-4αβ=17，
而α＞β，则α-β=$\sqrt{17}$．
设A=$\frac{2}{α}$+3β²，B=$\frac{2}{β}$+3α²，
A+B=2（$\frac{1}{α}$+$\frac{1}{β}$）+3（α²+β²）=$\frac{2（α+β）}{αβ}$+3（α²+β²）=$\frac{2×7}{8}$+3×33=100$\frac{3}{4}$，
A-B=2（$\frac{1}{α}$-$\frac{1}{β}$）+3（β²-α²）=$\frac{2（β-α）}{αβ}$+3（β+α）（β-α）=$\frac{-2\sqrt{17}}{8}$+3×7×（-$\sqrt{17}$）=-$\frac{85\sqrt{17}}{4}$，
则A=$\frac{1}{2}$（100$\frac{3}{4}$-$\frac{85\sqrt{17}}{4}$）=$\frac{1}{8}$（403-85$\sqrt{17}$），
即$\frac{2}{α}$+3β²=$\frac{1}{8}$（403-85$\sqrt{17}$）．

点评 此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．