Question

14．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P沿边AB从点A向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，设点P、Q移动的时间为t s．问：
（1）当t为何值时△PBQ的面积等于8cm²？
（2）当t为何值时△DPQ是直角三角形？
（3）是否存在t的值，使△DPQ的面积最小，若存在，求此时t的值及此时的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据AP=t，QB=2t，PB=6-t，△PBQ的面积等于8cm²，列出关于t的方程进行求解即可；
（2）根据∠PDQ＜90°，需要分两种情况进行讨论：∠DPQ=90°或∠PQD=90°，分别求得t的值即可；
（3）根据AP=t，QB=2t，PB=6-t，可得S_△DPQ=S_梯形ABQD-S_△APD-S_△BPQ=$\frac{1}{2}$（2t+12）×6-$\frac{1}{2}$×12×t-$\frac{1}{2}$×（6-t）×2t=t²-6t+36，最后根据二次函数的性质，求得当t=3时，S_△DPQ有最小值27．

解答 解：（1）由题意得AP=t，QB=2t，PB=6-t．
∵△PBQ的面积等于8cm²，
∴$\frac{1}{2}$×（6-t）×2t=8，
∴解得t=2或t=4，
又∵0≤t≤6，
∴当t=2s或t=4s时，△PBQ的面积等于8cm²．

（2）当t=0时，点P，Q分别与点A，B重合，
此时，∠DPQ=∠DAB=90°，△DPQ是直角三角形；
当PQ⊥DQ时，∠PQB=∠QDC，∠B=∠C，
∴△BPQ∽△CQD，
∴$\frac{BP}{CQ}$=$\frac{BQ}{CD}$，即$\frac{6-t}{12-2t}$=$\frac{2t}{6}$，
∴2t²-15t+18=0，
解得：t=$\frac{3}{2}$或6，
故当t=$\frac{3}{2}$时，△PQD是直角三角形；当t=6时，P点到达B点、Q点到达C点，此时∠PQD=∠BCD=90°，即△PQD是直角三角形．
综上所述，当t的值为0秒或$\frac{3}{2}$秒或6秒时，△DPQ是直角三角形；

（3）存在t的值，使△DPQ的面积最小．
由题意得AP=t，QB=2t，PB=6-t，
∴S_△DPQ=S_梯形ABQD-S_△APD-S_△BPQ
=$\frac{1}{2}$（2t+12）×6-$\frac{1}{2}$×12×t-$\frac{1}{2}$×（6-t）×2t
=t²-6t+36
=（t-3）²+27，
又∵0≤t≤6，
∴当t=3时，S_△DPQ有最小值27．

点评 本题属于四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，三角形的面积计算，解一元二次方程以及二次函数最值的综合应用，解决问题的关键是用含t的代数式表示线段的长．解题时注意：确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．