Question

7．先化简，再求值$\frac{a-1}{a-2\sqrt{a}+1}$$+\frac{2\sqrt{a}-a}{\sqrt{a}-2}÷\sqrt{a}$，并求a=1$\frac{1}{2}$时的值．

Answer 1

分析 先将a-1根据平方差公式化为（$\sqrt{a}+1$）（$\sqrt{a}$-1），a-2$\sqrt{a}$+1是完全平方公式为：$（\sqrt{a}-1）^{2}$，约分后再分母有理化，化简后代入计算可得结果．

解答 解：$\frac{a-1}{a-2\sqrt{a}+1}$$+\frac{2\sqrt{a}-a}{\sqrt{a}-2}÷\sqrt{a}$，
=$\frac{（\sqrt{a}+1）（\sqrt{a}-1）}{（\sqrt{a}-1）^{2}}$+$\frac{\sqrt{a}（2-\sqrt{a}）}{\sqrt{a}-2}$$•\frac{1}{\sqrt{a}}$，
=$\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}$-1，
=$\frac{（\sqrt{a}+1）^{2}}{（\sqrt{a}-1）（\sqrt{a}+1）}$-1，
=$\frac{a+2\sqrt{a}+1-（a-1）}{a-1}$，
=$\frac{2+2\sqrt{a}}{a-1}$，
当a=1$\frac{1}{2}$时，原式=$\frac{2+2\sqrt{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}-1}$=$\frac{2+\sqrt{6}}{\frac{1}{2}}$=4+2$\sqrt{6}$．

点评 本题是二次根式的化简求值问题，考查了分母有理化、完全平方公式和平方差公式及二次根式的混合运算法则，注意把a看作是$（\sqrt{a}）^{2}$．