Question

3．阅读：
①1-$\frac{1}{{2}^{2}}$=（1+$\frac{1}{2}$）（1-$\frac{1}{2}$）；  ②1-$\frac{1}{{3}^{2}}$=（1+$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{3}$）；  ③1-$\frac{1}{{4}^{2}}$=（1+$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{4}$）…
（1）观察上面结果相等各式之间的关系，可归纳得出1-$\frac{1}{{n}^{2}}$=（1-$\frac{1}{n}$）（1$+\frac{1}{n}$）
（2）利用上述规律计算：（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{4}^{2}}$）…（1-$\frac{1}{2{0}^{2}}$）

Answer 1

分析 （1）根据①②③式的规律可得1-$\frac{1}{{n}^{2}}$=（1-$\frac{1}{n}$）（1$+\frac{1}{n}$）；
（2）根据规律可知（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{4}^{2}}$）…（1-$\frac{1}{2{0}^{2}}$）=（1-$\frac{1}{2}$）（1$+\frac{1}{2}$）（1$-\frac{1}{3}$）（1$+\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{4}$）（1$+\frac{1}{4}$）…（1-$\frac{1}{20}$）（1+$\frac{1}{20}$），先计算括号内的，再约分可得结果．

解答 解：（1）∵1-$\frac{1}{{2}^{2}}$=（1+$\frac{1}{2}$）（1-$\frac{1}{2}$）；  
1-$\frac{1}{{3}^{2}}$=（1+$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{3}$）； 
 1-$\frac{1}{{4}^{2}}$=（1+$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{4}$）
…
∴1-$\frac{1}{{n}^{2}}$=（1-$\frac{1}{n}$）（1$+\frac{1}{n}$）；
故答案为：（1-$\frac{1}{n}$）（1$+\frac{1}{n}$）；

（2）（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{4}^{2}}$）…（1-$\frac{1}{2{0}^{2}}$）
=（1-$\frac{1}{2}$）（1$+\frac{1}{2}$）（1$-\frac{1}{3}$）（1$+\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{4}$）（1$+\frac{1}{4}$）…（1-$\frac{1}{20}$）（1+$\frac{1}{20}$）
=$\frac{1}{2}×\frac{3}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{4}{3}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{5}{4}$×…×$\frac{19}{20}×\frac{21}{20}$
=$\frac{1}{2}×$$\frac{21}{20}$
=$\frac{21}{40}$．

点评 本题主要考查了数字的变化规律，发现规律，利用规律是解答此题的关键．