Question

11．已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．

（1）如图1，若AB∥ON，则
①∠ABO的度数是20°；
②当∠BAD=∠ABD时，求∠OAC；
③当∠BAD=∠BDA时，求∠OAC．
（2）如图2，若AB⊥OM，且D在线段OB上，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）①运用平行线的性质以及角平分线的定义，可得①∠ABO的度数；②根据∠ABO、∠BAD的度数以及△AOB的内角和，可得x的值；
（2）分两种情况进行讨论：AC在AB左侧，AC在AB右侧，分别根据三角形内角和定理以及直角的度数，可得x的值．

解答 解：（1）如图1，①∵∠MON=40°，OE平分∠MON，
∴∠AOB=∠BON=20°，
∵AB∥ON，
∴∠ABO=20°；故答案为：20°；
②当∠BAD=∠ABD时，∠BAD=20°，
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°，
∴∠OAC=180°-20°×3=120°；
③当∠BAD=∠BDA时，
∵∠ABO=20°，
∴∠BAD=80°，∠AOB=20°，
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°，
∴∠OAC=180°-20°-20°-80°=60°，
（2）如图2，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角．
∵AB⊥OM，∠MON=40°，OE平分∠MON，
∴∠AOB=20°，∠ABO=70°，
①当AC在AB左侧时：
若∠BAD=∠ABD=70°，则∠OAC=90°-70°=20°；          
若∠BAD=∠BDA=$\frac{1}{2}$（180°-70°）=55°，则∠OAC=90°-55°=35°；            
若∠ADB=∠ABD=72°，则∠BAD=40°，故∠OAC=90°-40°=50°；
②当AC在AB右侧时：
∵∠ABE=110°，且三角形的内角和为180°，
∴只有∠BAD=∠BDA=$\frac{1}{2}$（180°-110°）=35°，则∠OAC=90°+35°=125°．     
综上所述，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角，x的值为20或35或50或125．

点评 本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．利用角平分线的性质求出∠ABO的度数是关键，注意分类讨论思想的运用．