Question

20．如图，在?ABCD中，点F在AD上，$\frac{DF}{FA}$=$\frac{1}{2}$，BF与AC交于点P，BF与CD的延长线交于点G，连接DP并延长交AB于点E．
（1）求$\frac{DG}{DC}$的值；
（2）设线段PF的长为y，线段PB的长为x，求y与x之间的数量关系式．

Answer 1

分析 （1）根据DG∥AB，可得△DGF∽△ABF，进而得到DG与AB的比值，再根据?ABCD中，AB=CD，即可得到$\frac{DG}{DC}$的值；
（2）根据$\frac{DF}{FA}$=$\frac{1}{2}$，DA=BC，可得AF与BC的比值为2：3，再根据AF∥BC，得出△APF∽△CPB，进而得到$\frac{PF}{PB}$=$\frac{AF}{CB}$，据此得出y与x之间的数量关系式．

解答 解：（1）∵DG∥AB，
∴△DGF∽△ABF，
∴$\frac{DG}{AB}$=$\frac{DF}{AF}$=$\frac{1}{2}$，
又∵?ABCD中，AB=CD，
∴$\frac{DG}{DC}$=$\frac{1}{2}$；

（2）∵$\frac{DF}{FA}$=$\frac{1}{2}$，DA=BC，
∴$\frac{AF}{BC}$=$\frac{2}{3}$，
∵AF∥BC，
∴△APF∽△CPB，
∴$\frac{PF}{PB}$=$\frac{AF}{CB}$，
∴$\frac{y}{x}$=$\frac{2}{3}$，
即y=$\frac{2}{3}$x．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质等知识的综合应用，解题时注意：平行四边形的对边平行且相等．