【题目】在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A出发,沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动,同时点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动,设两点移动的时间为t秒,回答下列问题:
(1)如图1,当t为几秒时,△PBQ的面积等于5cm2?
(2)如图2,当t=秒时,试判断△DPQ的形状,并说明理由;
(3)如图3,以Q为圆心,PQ为半径作⊙Q.
①在运动过程中,是否存在这样的t值,使⊙Q正好与四边形DPQC的一边(或边所在的直线)相切?若存在,求出t值;若不存在,请说明理由;
②若⊙Q与四边形DPQC有三个公共点,请直接写出t的取值范围。
【答案】(1)1秒或5秒(2)直角三角形(3)①t=0或t=﹣18+12②0<t<6﹣18
【解析】试题分析:(1)由题意可知PA=t,BQ=2t,从而得到PB=6﹣t,BQ=2t,然后根据△PQB的面积=5cm2列方程求解即可;
(2)由t=,可求得AP=,QB=3,PB=,CQ=9,由勾股定理可证明DQ2+PQ2=PD2,由勾股定理的逆定理可知△DPQ为直角三角形;
(3)①当t=0时,点P与点A重合时,点B与点Q重合,此时圆Q与PD相切;当⊙Q正好与四边形DPQC的DC边相切时,由圆的性质可知QC=QP,然后依据勾股定理列方程求解即可;
②先求得⊙Q与四边形DPQC有两个公共点时t的值,然后可确定出t的取值范围.
试题解析:(1)∵当运动时间为t秒时,PA=t,BQ=2t,
∴PB=6﹣t,BQ=2t.
∵△PBQ的面积等于5cm2,
∴PBBQ=(6﹣t)2t.
∴.
解得:t1=1,t2=5.
答:当t为1秒或5秒时,△PBQ的面积等于5cm2.
(2)△DPQ的形状是直角三角形.
理由:∵当t=秒时,AP=,QB=3,
∴PB=6﹣=,CQ=12﹣3=9.
在Rt△PDA中,由勾股定理可知:PD2=DA2+PA2=122+()2=.
同理:在Rt△PBQ和Rt△DCQ中由勾股定理可得:DQ2=117,PQ2=.
∵117+=,
∴DQ2+PQ2=PD2.
所以△DPQ的形状是直角三角形.
(3)①(Ⅰ)由题意可知圆Q与AB、BC不相切.
(Ⅱ)如图1所示:当t=0时,点P与点A重合时,点B与点Q重合.
∵∠DAB=90°,
∴∠DPQ=90°.
∴DP⊥PQ.
∴DP为圆Q的切线.
(Ⅲ)当⊙Q正好与四边形DPQC的DC边相切时,如图2所示.
由题意可知:PB=6﹣t,BQ=2t,PQ=CQ=12﹣2t.
在Rt△PQB中,由勾股定理可知:PQ2=PB2+QB2,即(6﹣t)2+(2t)2=(12﹣2t)2.
解得:t1=﹣18+12,t2=﹣18﹣12(舍去).
综上所述可知当t=0或t=﹣18+12时,⊙Q与四边形DPQC的一边相切.
②(Ⅰ)当t=0时,如图1所示:⊙Q与四边形DPQC有两个公共点;
(Ⅱ)如图3所示:当圆Q经过点D时,⊙Q与四边形DPQC有两个公共点.
由题意可知:PB=6﹣t,BQ=2t,CQ=12﹣2t,DC=6.
由勾股定理可知:DQ2=DC2+CQ2=62+(12﹣2t)2,PQ2=PB2+QB2=(6﹣t)2+(2t)2.
∵DQ=PQ,
∴DQ2=PQ2,即62+(12﹣2t)2=(6﹣t)2+(2t)2.
整理得:t2+36t﹣144=0.
解得:t1=6﹣18,t2=﹣6﹣18(舍去).
∴当0<t<6﹣18时,⊙Q与四边形DPQC有三个公共点.
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【题目】已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中错误的有( )
①当AB=BC时,它是菱形;②当AC⊥BD时,它是菱形;③当∠ABC=90°时,它是矩形;④当AC=BD时,它是正方形.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】在□ABCD中,AC、BD交于点O,过点O作直线EF、GH,分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点,连接EG、GF、FH、HE.
(1)如图①,试判断四边形EGFH的形状,并说明理由;
(2)如图②,当EF⊥GH时,四边形EGFH的形状是 ;
(3)如图③,在(2)的条件下,若AC=BD,四边形EGFH的形状是 ;
(4)如图④,在(3)的条件下,若AC⊥BD,试判断四边形EGFH的形状,并说明理由.
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【题目】数轴上点A表示a,将点A沿数轴向左移动3个单位得到点B,设点B所表示的数为x,则x可以表示为( )
A.a﹣3
B.a+3
C.3﹣a
D.3a+3
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【题目】我省某地生产的一种绿色蔬菜,在市场上若直接销售,每吨利润为1000元,经粗加工后销售,每吨利润可达4500元,经精加工后销售,每吨利润涨至7500元. 当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨.该公司加工厂的生产能力是:如果对蔬菜进行粗加工,每天可加工16吨;如果进行精加工,每天可加工6吨,但两种加工方式不能同时进行.受季节等条件限制,公司必须用15天的时间将这批蔬菜全部销售或加工完毕.为此,公司研制了三种可行方案:
方案一:将蔬菜全部进行粗加工.
方案二:尽可能多的对蔬菜进行精加工,没来得及进行加工的蔬菜,在市场上直接出售.
方案三:将一部分蔬菜进行精加工,其余蔬菜进行粗加工,并恰好用15天完成.
你认为选择哪种方案获利最多?为什么?
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【题目】随着“互联网+”在各领域的延伸与融合,互联网移动医疗发展迅速,预计到2018年我国移动医疗市场规模将达到29150000000元,将29150000000用科学记数法表示为 .
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